Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45042 / 12334
↖ ↑ ↗
← N 73.949829°
E 67.423096°		 ← 168.89 m → N 73.949829°
E 67.428589°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 73.948310°
E 67.423096°		 ← 168.90 m →
28 526 m²		 N 73.948310°
E 67.428589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687294006347656 y=0.188209533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687294006347656 × 216)
    floor (0.687294006347656 × 65536)
    floor (45042.5)     		tx = 45042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188209533691406 × 216)
    floor (0.188209533691406 × 65536)
    floor (12334.5)     		ty = 12334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45042 / 12334 ti = "16/45042/12334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45042/12334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45042 ÷ 216
    45042 ÷ 65536     		x = 0.687286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12334 ÷ 216
    12334 ÷ 65536     		y = 0.188201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687286376953125 × 2 - 1) × π
    0.37457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17675501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188201904296875 × 2 - 1) × π
    0.62359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95908521367245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17675501} λ = 1.17675501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95908521367245))-π/2
    2×atan(7.0928356673963)-π/2
    2×1.4307321614103-π/2
    2.86146432282061-1.57079632675     		φ = 1.29066800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17675501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29066800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.949829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45042 KachelY 12334 1.17675501 1.29066800 67.423096 73.949829
    Oben rechts KachelX + 1 45043 KachelY 12334 1.17685089 1.29066800 67.428589 73.949829
    Unten links KachelX 45042 KachelY + 1 12335 1.17675501 1.29064149 67.423096 73.948310
    Unten rechts KachelX + 1 45043 KachelY + 1 12335 1.17685089 1.29064149 67.428589 73.948310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29066800-1.29064149) × R
    2.65099999998686e-05 × 6371000     		dl = 168.895209999163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29066800-1.29064149) × R
    2.65099999998686e-05 × 6371000     		dr = 168.895209999163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17675501-1.17685089) × cos(1.29066800) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.276478975452412 × 6371000     		do = 168.88759134427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17675501-1.17685089) × cos(1.29064149) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.27650445199457 × 6371000     		du = 168.903153727752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29066800)-sin(1.29064149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276478975452412-0.27650445199457)×R²
    abs(1.17685089-1.17675501)×2.5476542158509e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.5476542158509e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.5476542158509e-05×40589641000000     		ar = 28525.6194137623m²