Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4504 / 13127
↖ ↑ ↗
← S 72.861457°
W 81.035156°		 ← 719.99 m → S 72.861457°
W 81.013184°		 →
↑
719.86 m
↓
↑
719.86 m
↓
S 72.867931°
W 81.035156°		 ← 719.73 m →
518 199 m²		 S 72.867931°
W 81.013184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274932861328125 y=0.801239013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274932861328125 × 214)
    floor (0.274932861328125 × 16384)
    floor (4504.5)     		tx = 4504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801239013671875 × 214)
    floor (0.801239013671875 × 16384)
    floor (13127.5)     		ty = 13127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4504 / 13127 ti = "14/4504/13127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4504/13127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4504 ÷ 214
    4504 ÷ 16384     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13127 ÷ 214
    13127 ÷ 16384     		y = 0.80120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.6024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89254879699982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89254879699982))-π/2
    2×atan(0.150687247755504)-π/2
    2×0.149562004696615-π/2
    0.299124009393229-1.57079632675     		φ = -1.27167232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27167232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.861457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4504 KachelY 13127 -1.41433029 -1.27167232 -81.035156 -72.861457
    Oben rechts KachelX + 1 4505 KachelY 13127 -1.41394679 -1.27167232 -81.013184 -72.861457
    Unten links KachelX 4504 KachelY + 1 13128 -1.41433029 -1.27178531 -81.035156 -72.867931
    Unten rechts KachelX + 1 4505 KachelY + 1 13128 -1.41394679 -1.27178531 -81.013184 -72.867931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27167232--1.27178531) × R
    0.000112990000000091 × 6371000     		dl = 719.859290000577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27167232--1.27178531) × R
    0.000112990000000091 × 6371000     		dr = 719.859290000577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41394679) × cos(-1.27167232) × R
    0.000383500000000092 × 0.294683225109518 × 6371000     		do = 719.993188220918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41394679) × cos(-1.27178531) × R
    0.000383500000000092 × 0.29457525055005 × 6371000     		du = 719.729376301224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27167232)-sin(-1.27178531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294683225109518-0.29457525055005)×R²
    abs(-1.41394679--1.41433029)×0.000107974559467594×R²
    0.000383500000000092×0.000107974559467594×6371000²
    0.000383500000000092×0.000107974559467594×40589641000000     		ar = 518198.832099464m²