Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4504 / 13114
↖ ↑ ↗
← S 72.777081°
W 81.035156°		 ← 723.43 m → S 72.777081°
W 81.013184°		 →
↑
723.30 m
↓
↑
723.30 m
↓
S 72.783586°
W 81.035156°		 ← 723.17 m →
523 161 m²		 S 72.783586°
W 81.013184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274932861328125 y=0.800445556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274932861328125 × 214)
    floor (0.274932861328125 × 16384)
    floor (4504.5)     		tx = 4504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800445556640625 × 214)
    floor (0.800445556640625 × 16384)
    floor (13114.5)     		ty = 13114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4504 / 13114 ti = "14/4504/13114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4504/13114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4504 ÷ 214
    4504 ÷ 16384     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13114 ÷ 214
    13114 ÷ 16384     		y = 0.8004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88756335943933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88756335943933))-π/2
    2×atan(0.151440365370906)-π/2
    2×0.1502983193778-π/2
    0.300596638755601-1.57079632675     		φ = -1.27019969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27019969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.777081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4504 KachelY 13114 -1.41433029 -1.27019969 -81.035156 -72.777081
    Oben rechts KachelX + 1 4505 KachelY 13114 -1.41394679 -1.27019969 -81.013184 -72.777081
    Unten links KachelX 4504 KachelY + 1 13115 -1.41433029 -1.27031322 -81.035156 -72.783586
    Unten rechts KachelX + 1 4505 KachelY + 1 13115 -1.41394679 -1.27031322 -81.013184 -72.783586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27019969--1.27031322) × R
    0.000113529999999917 × 6371000     		dl = 723.299629999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27019969--1.27031322) × R
    0.000113529999999917 × 6371000     		dr = 723.299629999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41394679) × cos(-1.27019969) × R
    0.000383500000000092 × 0.296090142929472 × 6371000     		do = 723.43068028168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41394679) × cos(-1.27031322) × R
    0.000383500000000092 × 0.295981701706645 × 6371000     		du = 723.165728173432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27019969)-sin(-1.27031322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296090142929472-0.295981701706645)×R²
    abs(-1.41394679--1.41433029)×0.000108441222827549×R²
    0.000383500000000092×0.000108441222827549×6371000²
    0.000383500000000092×0.000108441222827549×40589641000000     		ar = 523161.32405908m²