Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4504 / 13097
↖ ↑ ↗
← S 72.666136°
W 81.035156°		 ← 727.95 m → S 72.666136°
W 81.013184°		 →
↑
727.82 m
↓
↑
727.82 m
↓
S 72.672682°
W 81.035156°		 ← 727.68 m →
529 721 m²		 S 72.672682°
W 81.013184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274932861328125 y=0.799407958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274932861328125 × 214)
    floor (0.274932861328125 × 16384)
    floor (4504.5)     		tx = 4504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799407958984375 × 214)
    floor (0.799407958984375 × 16384)
    floor (13097.5)     		ty = 13097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4504 / 13097 ti = "14/4504/13097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4504/13097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4504 ÷ 214
    4504 ÷ 16384     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13097 ÷ 214
    13097 ÷ 16384     		y = 0.79937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.5987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.881043941091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.881043941091))-π/2
    2×atan(0.152430893793818)-π/2
    2×0.1512664978746-π/2
    0.3025329957492-1.57079632675     		φ = -1.26826333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26826333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.666136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4504 KachelY 13097 -1.41433029 -1.26826333 -81.035156 -72.666136
    Oben rechts KachelX + 1 4505 KachelY 13097 -1.41394679 -1.26826333 -81.013184 -72.666136
    Unten links KachelX 4504 KachelY + 1 13098 -1.41433029 -1.26837757 -81.035156 -72.672682
    Unten rechts KachelX + 1 4505 KachelY + 1 13098 -1.41394679 -1.26837757 -81.013184 -72.672682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26826333--1.26837757) × R
    0.000114240000000043 × 6371000     		dl = 727.823040000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26826333--1.26837757) × R
    0.000114240000000043 × 6371000     		dr = 727.823040000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41394679) × cos(-1.26826333) × R
    0.000383500000000092 × 0.297939120299605 × 6371000     		do = 727.948246937113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41394679) × cos(-1.26837757) × R
    0.000383500000000092 × 0.297830066579732 × 6371000     		du = 727.681798328003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26826333)-sin(-1.26837757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297939120299605-0.297830066579732)×R²
    abs(-1.41394679--1.41433029)×0.000109053719872854×R²
    0.000383500000000092×0.000109053719872854×6371000²
    0.000383500000000092×0.000109053719872854×40589641000000     		ar = 529720.542906641m²