Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45031 / 12317
↖ ↑ ↗
← N 73.975627°
E 67.362671°		 ← 168.61 m → N 73.975627°
E 67.368164°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
N 73.974111°
E 67.362671°		 ← 168.62 m →
28 424 m²		 N 73.974111°
E 67.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687126159667969 y=0.187950134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687126159667969 × 216)
    floor (0.687126159667969 × 65536)
    floor (45031.5)     		tx = 45031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187950134277344 × 216)
    floor (0.187950134277344 × 65536)
    floor (12317.5)     		ty = 12317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45031 / 12317 ti = "16/45031/12317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45031/12317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45031 ÷ 216
    45031 ÷ 65536     		x = 0.687118530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12317 ÷ 216
    12317 ÷ 65536     		y = 0.187942504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687118530273438 × 2 - 1) × π
    0.374237060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17570040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187942504882812 × 2 - 1) × π
    0.624114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96071506825954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17570040} λ = 1.17570040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96071506825954))-π/2
    2×atan(7.10440538406094)-π/2
    2×1.43095729530678-π/2
    2.86191459061356-1.57079632675     		φ = 1.29111826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17570040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.362671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29111826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.975627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45031 KachelY 12317 1.17570040 1.29111826 67.362671 73.975627
    Oben rechts KachelX + 1 45032 KachelY 12317 1.17579627 1.29111826 67.368164 73.975627
    Unten links KachelX 45031 KachelY + 1 12318 1.17570040 1.29109180 67.362671 73.974111
    Unten rechts KachelX + 1 45032 KachelY + 1 12318 1.17579627 1.29109180 67.368164 73.974111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29111826-1.29109180) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29111826-1.29109180) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17570040-1.17579627) × cos(1.29111826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276046238591034 × 6371000     		do = 168.605666485902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17570040-1.17579627) × cos(1.29109180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276071670374072 × 6371000     		du = 168.621199907951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29111826)-sin(1.29109180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276046238591034-0.276071670374072)×R²
    abs(1.17579627-1.17570040)×2.54317830373774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54317830373774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54317830373774e-05×40589641000000     		ar = 28424.2894010901m²