Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4503 / 2423
↖ ↑ ↗
← N 82.131931°
W130.528565°		 ← 167.23 m → N 82.131931°
W130.517578°		 →
↑
167.24 m
↓
↑
167.24 m
↓
N 82.130427°
W130.528565°		 ← 167.27 m →
27 971 m²		 N 82.130427°
W130.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137435913085938 y=0.0739593505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137435913085938 × 215)
    floor (0.137435913085938 × 32768)
    floor (4503.5)     		tx = 4503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0739593505859375 × 215)
    floor (0.0739593505859375 × 32768)
    floor (2423.5)     		ty = 2423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4503 / 2423 ti = "15/4503/2423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4503/2423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4503 ÷ 215
    4503 ÷ 32768     		x = 0.137420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2423 ÷ 215
    2423 ÷ 32768     		y = 0.073944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.72515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27815322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.073944091796875 × 2 - 1) × π
    0.85211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.67698822238242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27815322} λ = -2.27815322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67698822238242))-π/2
    2×atan(14.5412323212472)-π/2
    2×1.50213446924062-π/2
    3.00426893848125-1.57079632675     		φ = 1.43347261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27815322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.528565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43347261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.131931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4503 KachelY 2423 -2.27815322 1.43347261 -130.528565 82.131931
    Oben rechts KachelX + 1 4504 KachelY 2423 -2.27796147 1.43347261 -130.517578 82.131931
    Unten links KachelX 4503 KachelY + 1 2424 -2.27815322 1.43344636 -130.528565 82.130427
    Unten rechts KachelX + 1 4504 KachelY + 1 2424 -2.27796147 1.43344636 -130.517578 82.130427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43347261-1.43344636) × R
    2.62499999998944e-05 × 6371000     		dl = 167.238749999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43347261-1.43344636) × R
    2.62499999998944e-05 × 6371000     		dr = 167.238749999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27815322--2.27796147) × cos(1.43347261) × R
    0.000191749999999935 × 0.13689251962979 × 6371000     		do = 167.23327501109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27815322--2.27796147) × cos(1.43344636) × R
    0.000191749999999935 × 0.136918522462667 × 6371000     		du = 167.265041092344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43347261)-sin(1.43344636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13689251962979-0.136918522462667)×R²
    abs(-2.27796147--2.27815322)×2.60028328776252e-05×R²
    0.000191749999999935×2.60028328776252e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.60028328776252e-05×40589641000000     		ar = 27970.5401325389m²