Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45027 / 77899
↖ ↑ ↗
← S 32.126779°
W 56.329651°		 ← 258.60 m → S 32.126779°
W 56.326904°		 →
↑
258.60 m
↓
↑
258.60 m
↓
S 32.129105°
W 56.329651°		 ← 258.60 m →
66 874 m²		 S 32.129105°
W 56.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343532562255859 y=0.594326019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343532562255859 × 217)
    floor (0.343532562255859 × 131072)
    floor (45027.5)     		tx = 45027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594326019287109 × 217)
    floor (0.594326019287109 × 131072)
    floor (77899.5)     		ty = 77899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45027 / 77899 ti = "17/45027/77899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45027/77899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45027 ÷ 217
    45027 ÷ 131072     		x = 0.343528747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77899 ÷ 217
    77899 ÷ 131072     		y = 0.594322204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343528747558594 × 2 - 1) × π
    -0.312942504882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.98313787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594322204589844 × 2 - 1) × π
    -0.188644409179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.592643890002754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98313787} λ = -0.98313787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592643890002754))-π/2
    2×atan(0.552863640078472)-π/2
    2×0.505039124100897-π/2
    1.01007824820179-1.57079632675     		φ = -0.56071808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98313787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.329651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56071808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.126779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45027 KachelY 77899 -0.98313787 -0.56071808 -56.329651 -32.126779
    Oben rechts KachelX + 1 45028 KachelY 77899 -0.98308994 -0.56071808 -56.326904 -32.126779
    Unten links KachelX 45027 KachelY + 1 77900 -0.98313787 -0.56075867 -56.329651 -32.129105
    Unten rechts KachelX + 1 45028 KachelY + 1 77900 -0.98308994 -0.56075867 -56.326904 -32.129105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56071808--0.56075867) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dl = 258.598890000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56071808--0.56075867) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dr = 258.598890000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98313787--0.98308994) × cos(-0.56071808) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.846873458422362 × 6371000     		do = 258.602998416532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98313787--0.98308994) × cos(-0.56075867) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.846851872187691 × 6371000     		du = 258.596406800093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56071808)-sin(-0.56075867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846873458422362-0.846851872187691)×R²
    abs(-0.98308994--0.98313787)×2.15862346714113e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.15862346714113e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.15862346714113e-05×40589641000000     		ar = 66873.5960580971m²