Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45023 / 78242
↖ ↑ ↗
← S 32.921097°
W 56.340637°		 ← 256.33 m → S 32.921097°
W 56.337891°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 32.923402°
W 56.340637°		 ← 256.32 m →
65 713 m²		 S 32.923402°
W 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343502044677734 y=0.596942901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343502044677734 × 217)
    floor (0.343502044677734 × 131072)
    floor (45023.5)     		tx = 45023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596942901611328 × 217)
    floor (0.596942901611328 × 131072)
    floor (78242.5)     		ty = 78242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45023 / 78242 ti = "17/45023/78242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45023/78242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45023 ÷ 217
    45023 ÷ 131072     		x = 0.343498229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78242 ÷ 217
    78242 ÷ 131072     		y = 0.596939086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343498229980469 × 2 - 1) × π
    -0.313003540039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.98332962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596939086914062 × 2 - 1) × π
    -0.193878173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.609086246572433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98332962} λ = -0.98332962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609086246572433))-π/2
    2×atan(0.543847584696728)-π/2
    2×0.498107399425775-π/2
    0.99621479885155-1.57079632675     		φ = -0.57458153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98332962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.340637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57458153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.921097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45023 KachelY 78242 -0.98332962 -0.57458153 -56.340637 -32.921097
    Oben rechts KachelX + 1 45024 KachelY 78242 -0.98328169 -0.57458153 -56.337891 -32.921097
    Unten links KachelX 45023 KachelY + 1 78243 -0.98332962 -0.57462177 -56.340637 -32.923402
    Unten rechts KachelX + 1 45024 KachelY + 1 78243 -0.98328169 -0.57462177 -56.337891 -32.923402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57458153--0.57462177) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dl = 256.369040000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57458153--0.57462177) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dr = 256.369040000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98332962--0.98328169) × cos(-0.57458153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839419807480392 × 6371000     		do = 256.326936434579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98332962--0.98328169) × cos(-0.57462177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839397937022073 × 6371000     		du = 256.320258027029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57458153)-sin(-0.57462177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839419807480392-0.839397937022073)×R²
    abs(-0.98328169--0.98332962)×2.18704583194729e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18704583194729e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18704583194729e-05×40589641000000     		ar = 65713.4345602577m²