Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45020 / 78252
↖ ↑ ↗
← S 32.944149°
W 56.348877°		 ← 256.26 m → S 32.944149°
W 56.346131°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
S 32.946454°
W 56.348877°		 ← 256.25 m →
65 680 m²		 S 32.946454°
W 56.346131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343479156494141 y=0.597019195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343479156494141 × 217)
    floor (0.343479156494141 × 131072)
    floor (45020.5)     		tx = 45020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597019195556641 × 217)
    floor (0.597019195556641 × 131072)
    floor (78252.5)     		ty = 78252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45020 / 78252 ti = "17/45020/78252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45020/78252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45020 ÷ 217
    45020 ÷ 131072     		x = 0.343475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78252 ÷ 217
    78252 ÷ 131072     		y = 0.597015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.31304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98347343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.19403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.609565615568634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98347343} λ = -0.98347343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609565615568634))-π/2
    2×atan(0.543586943502611)-π/2
    2×0.49790622972211-π/2
    0.99581245944422-1.57079632675     		φ = -0.57498387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98347343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.348877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57498387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.944149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45020 KachelY 78252 -0.98347343 -0.57498387 -56.348877 -32.944149
    Oben rechts KachelX + 1 45021 KachelY 78252 -0.98342550 -0.57498387 -56.346131 -32.944149
    Unten links KachelX 45020 KachelY + 1 78253 -0.98347343 -0.57502410 -56.348877 -32.946454
    Unten rechts KachelX + 1 45021 KachelY + 1 78253 -0.98342550 -0.57502410 -56.346131 -32.946454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57498387--0.57502410) × R
    4.02300000000855e-05 × 6371000     		dl = 256.305330000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57498387--0.57502410) × R
    4.02300000000855e-05 × 6371000     		dr = 256.305330000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98347343--0.98342550) × cos(-0.57498387) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839201074366658 × 6371000     		do = 256.260143646941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98347343--0.98342550) × cos(-0.57502410) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839179195758494 × 6371000     		du = 256.253462750738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57498387)-sin(-0.57502410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839201074366658-0.839179195758494)×R²
    abs(-0.98342550--0.98347343)×2.18786081639388e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18786081639388e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18786081639388e-05×40589641000000     		ar = 65679.9845175951m²