Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4502 / 4724
↖ ↑ ↗
← S 26.588527°
E 17.841797°		 ← 4 369.72 m → S 26.588527°
E 17.885742°		 →
↑
4 368.98 m
↓
↑
4 368.98 m
↓
S 26.627818°
E 17.841797°		 ← 4 368.22 m →
19 087 914 m²		 S 26.627818°
E 17.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54962158203125 y=0.57672119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54962158203125 × 213)
    floor (0.54962158203125 × 8192)
    floor (4502.5)     		tx = 4502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57672119140625 × 213)
    floor (0.57672119140625 × 8192)
    floor (4724.5)     		ty = 4724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4502 / 4724 ti = "13/4502/4724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4502/4724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4502 ÷ 213
    4502 ÷ 8192     		x = 0.549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4724 ÷ 213
    4724 ÷ 8192     		y = 0.57666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549560546875 × 2 - 1) × π
    0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31139810} λ = 0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481669967382324))-π/2
    2×atan(0.617750906073797)-π/2
    2×0.553369492415388-π/2
    1.10673898483078-1.57079632675     		φ = -0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4502 KachelY 4724 0.31139810 -0.46405734 17.841797 -26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 4503 KachelY 4724 0.31216509 -0.46405734 17.885742 -26.588527
    Unten links KachelX 4502 KachelY + 1 4725 0.31139810 -0.46474310 17.841797 -26.627818
    Unten rechts KachelX + 1 4503 KachelY + 1 4725 0.31216509 -0.46474310 17.885742 -26.627818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46405734--0.46474310) × R
    0.000685760000000035 × 6371000     		dl = 4368.97696000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46405734--0.46474310) × R
    0.000685760000000035 × 6371000     		dr = 4368.97696000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31139810-0.31216509) × cos(-0.46405734) × R
    0.000766989999999967 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 4369.71671266477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31139810-0.31216509) × cos(-0.46474310) × R
    0.000766989999999967 × 0.893936735928101 × 6371000     		du = 4368.21586179698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46405734)-sin(-0.46474310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.893936735928101)×R²
    abs(0.31216509-0.31139810)×0.000307142725614051×R²
    0.000766989999999967×0.000307142725614051×6371000²
    0.000766989999999967×0.000307142725614051×40589641000000     		ar = 19087913.7959633m²