Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4502 / 2478
↖ ↑ ↗
← N 82.048780°
W130.539551°		 ← 168.99 m → N 82.048780°
W130.528565°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 82.047260°
W130.539551°		 ← 169.02 m →
28 566 m²		 N 82.047260°
W130.528565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137405395507812 y=0.0756378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137405395507812 × 215)
    floor (0.137405395507812 × 32768)
    floor (4502.5)     		tx = 4502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756378173828125 × 215)
    floor (0.0756378173828125 × 32768)
    floor (2478.5)     		ty = 2478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4502 / 2478 ti = "15/4502/2478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4502/2478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4502 ÷ 215
    4502 ÷ 32768     		x = 0.13739013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2478 ÷ 215
    2478 ÷ 32768     		y = 0.07562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.7252197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27834497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07562255859375 × 2 - 1) × π
    0.8487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.666442104466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27834497} λ = -2.27834497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.666442104466))-π/2
    2×atan(14.3886845776517)-π/2
    2×1.50140884352822-π/2
    3.00281768705643-1.57079632675     		φ = 1.43202136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27834497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.539551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43202136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.048780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4502 KachelY 2478 -2.27834497 1.43202136 -130.539551 82.048780
    Oben rechts KachelX + 1 4503 KachelY 2478 -2.27815322 1.43202136 -130.528565 82.048780
    Unten links KachelX 4502 KachelY + 1 2479 -2.27834497 1.43199483 -130.539551 82.047260
    Unten rechts KachelX + 1 4503 KachelY + 1 2479 -2.27815322 1.43199483 -130.528565 82.047260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43202136-1.43199483) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43202136-1.43199483) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27834497--2.27815322) × cos(1.43202136) × R
    0.000191749999999935 × 0.13832996276545 × 6371000     		do = 168.989311965255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27834497--2.27815322) × cos(1.43199483) × R
    0.000191749999999935 × 0.138356237662601 × 6371000     		du = 169.021410410905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43202136)-sin(1.43199483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13832996276545-0.138356237662601)×R²
    abs(-2.27815322--2.27834497)×2.62748971515125e-05×R²
    0.000191749999999935×2.62748971515125e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.62748971515125e-05×40589641000000     		ar = 28565.7306343108m²