Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4502 / 13170
↖ ↑ ↗
← S 73.137697°
W 81.079102°		 ← 708.73 m → S 73.137697°
W 81.057129°		 →
↑
708.65 m
↓
↑
708.65 m
↓
S 73.144070°
W 81.079102°		 ← 708.47 m →
502 145 m²		 S 73.144070°
W 81.057129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274810791015625 y=0.803863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274810791015625 × 214)
    floor (0.274810791015625 × 16384)
    floor (4502.5)     		tx = 4502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803863525390625 × 214)
    floor (0.803863525390625 × 16384)
    floor (13170.5)     		ty = 13170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4502 / 13170 ti = "14/4502/13170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4502/13170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4502 ÷ 214
    4502 ÷ 16384     		x = 0.2747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13170 ÷ 214
    13170 ÷ 16384     		y = 0.8038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41509728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8038330078125 × 2 - 1) × π
    -0.607666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90903909046912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41509728} λ = -1.41509728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90903909046912))-π/2
    2×atan(0.148222746836981)-π/2
    2×0.147151351168216-π/2
    0.294302702336431-1.57079632675     		φ = -1.27649362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41509728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.079102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27649362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.137697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4502 KachelY 13170 -1.41509728 -1.27649362 -81.079102 -73.137697
    Oben rechts KachelX + 1 4503 KachelY 13170 -1.41471378 -1.27649362 -81.057129 -73.137697
    Unten links KachelX 4502 KachelY + 1 13171 -1.41509728 -1.27660485 -81.079102 -73.144070
    Unten rechts KachelX + 1 4503 KachelY + 1 13171 -1.41471378 -1.27660485 -81.057129 -73.144070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27649362--1.27660485) × R
    0.000111229999999907 × 6371000     		dl = 708.646329999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27649362--1.27660485) × R
    0.000111229999999907 × 6371000     		dr = 708.646329999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41509728--1.41471378) × cos(-1.27649362) × R
    0.00038349999999987 × 0.290072607863795 × 6371000     		do = 708.7281662323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41509728--1.41471378) × cos(-1.27660485) × R
    0.00038349999999987 × 0.289966158443433 × 6371000     		du = 708.468080652192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27649362)-sin(-1.27660485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290072607863795-0.289966158443433)×R²
    abs(-1.41471378--1.41509728)×0.000106449420362031×R²
    0.00038349999999987×0.000106449420362031×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106449420362031×40589641000000     		ar = 502145.460139827m²