Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4502 / 13129
↖ ↑ ↗
← S 72.874402°
W 81.079102°		 ← 719.47 m → S 72.874402°
W 81.057129°		 →
↑
719.35 m
↓
↑
719.35 m
↓
S 72.880871°
W 81.079102°		 ← 719.20 m →
517 453 m²		 S 72.880871°
W 81.057129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274810791015625 y=0.801361083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274810791015625 × 214)
    floor (0.274810791015625 × 16384)
    floor (4502.5)     		tx = 4502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801361083984375 × 214)
    floor (0.801361083984375 × 16384)
    floor (13129.5)     		ty = 13129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4502 / 13129 ti = "14/4502/13129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4502/13129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4502 ÷ 214
    4502 ÷ 16384     		x = 0.2747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13129 ÷ 214
    13129 ÷ 16384     		y = 0.80133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41509728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.6026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89331578739374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41509728} λ = -1.41509728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89331578739374))-π/2
    2×atan(0.150571716395374)-π/2
    2×0.149449036499241-π/2
    0.298898072998481-1.57079632675     		φ = -1.27189825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41509728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.079102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27189825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.874402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4502 KachelY 13129 -1.41509728 -1.27189825 -81.079102 -72.874402
    Oben rechts KachelX + 1 4503 KachelY 13129 -1.41471378 -1.27189825 -81.057129 -72.874402
    Unten links KachelX 4502 KachelY + 1 13130 -1.41509728 -1.27201116 -81.079102 -72.880871
    Unten rechts KachelX + 1 4503 KachelY + 1 13130 -1.41471378 -1.27201116 -81.057129 -72.880871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27189825--1.27201116) × R
    0.000112909999999911 × 6371000     		dl = 719.34960999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27189825--1.27201116) × R
    0.000112909999999911 × 6371000     		dr = 719.34960999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41509728--1.41471378) × cos(-1.27189825) × R
    0.00038349999999987 × 0.294467320012895 × 6371000     		do = 719.465671939883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41509728--1.41471378) × cos(-1.27201116) × R
    0.00038349999999987 × 0.294359414390522 × 6371000     		du = 719.20202845271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27189825)-sin(-1.27201116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294467320012895-0.294359414390522)×R²
    abs(-1.41471378--1.41509728)×0.000107905622372617×R²
    0.00038349999999987×0.000107905622372617×6371000²
    0.00038349999999987×0.000107905622372617×40589641000000     		ar = 517452.525147482m²