Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45018 / 78235
↖ ↑ ↗
← S 32.904956°
W 56.354370°		 ← 256.43 m → S 32.904956°
W 56.351624°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 32.907262°
W 56.354370°		 ← 256.42 m →
65 739 m²		 S 32.907262°
W 56.351624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343463897705078 y=0.596889495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343463897705078 × 217)
    floor (0.343463897705078 × 131072)
    floor (45018.5)     		tx = 45018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596889495849609 × 217)
    floor (0.596889495849609 × 131072)
    floor (78235.5)     		ty = 78235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45018 / 78235 ti = "17/45018/78235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45018/78235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45018 ÷ 217
    45018 ÷ 131072     		x = 0.343460083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78235 ÷ 217
    78235 ÷ 131072     		y = 0.596885681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343460083007812 × 2 - 1) × π
    -0.313079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98356931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596885681152344 × 2 - 1) × π
    -0.193771362304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.608750688275093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98356931} λ = -0.98356931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608750688275093))-π/2
    2×atan(0.544030107888135)-π/2
    2×0.49824824940782-π/2
    0.996496498815641-1.57079632675     		φ = -0.57429983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98356931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.354370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57429983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.904956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45018 KachelY 78235 -0.98356931 -0.57429983 -56.354370 -32.904956
    Oben rechts KachelX + 1 45019 KachelY 78235 -0.98352137 -0.57429983 -56.351624 -32.904956
    Unten links KachelX 45018 KachelY + 1 78236 -0.98356931 -0.57434007 -56.354370 -32.907262
    Unten rechts KachelX + 1 45019 KachelY + 1 78236 -0.98352137 -0.57434007 -56.351624 -32.907262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57429983--0.57434007) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dl = 256.369040000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57429983--0.57434007) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dr = 256.369040000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98356931--0.98352137) × cos(-0.57429983) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839572873492954 × 6371000     		do = 256.427166170937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98356931--0.98352137) × cos(-0.57434007) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839551012550712 × 6371000     		du = 256.420489276476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57429983)-sin(-0.57434007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839572873492954-0.839551012550712)×R²
    abs(-0.98352137--0.98356931)×2.18609422417693e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18609422417693e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18609422417693e-05×40589641000000     		ar = 65739.1305555949m²