Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45017 / 77913
↖ ↑ ↗
← S 32.159338°
W 56.357117°		 ← 258.51 m → S 32.159338°
W 56.354370°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
S 32.161663°
W 56.357117°		 ← 258.50 m →
66 833 m²		 S 32.161663°
W 56.354370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343456268310547 y=0.594432830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343456268310547 × 217)
    floor (0.343456268310547 × 131072)
    floor (45017.5)     		tx = 45017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594432830810547 × 217)
    floor (0.594432830810547 × 131072)
    floor (77913.5)     		ty = 77913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45017 / 77913 ti = "17/45017/77913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45017/77913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45017 ÷ 217
    45017 ÷ 131072     		x = 0.343452453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77913 ÷ 217
    77913 ÷ 131072     		y = 0.594429016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343452453613281 × 2 - 1) × π
    -0.313095092773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.98361724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594429016113281 × 2 - 1) × π
    -0.188858032226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.593315006597435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98361724} λ = -0.98361724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.593315006597435))-π/2
    2×atan(0.552492728591368)-π/2
    2×0.504754999404681-π/2
    1.00950999880936-1.57079632675     		φ = -0.56128633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98361724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.357117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56128633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.159338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45017 KachelY 77913 -0.98361724 -0.56128633 -56.357117 -32.159338
    Oben rechts KachelX + 1 45018 KachelY 77913 -0.98356931 -0.56128633 -56.354370 -32.159338
    Unten links KachelX 45017 KachelY + 1 77914 -0.98361724 -0.56132691 -56.357117 -32.161663
    Unten rechts KachelX + 1 45018 KachelY + 1 77914 -0.98356931 -0.56132691 -56.354370 -32.161663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56128633--0.56132691) × R
    4.05799999999568e-05 × 6371000     		dl = 258.535179999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56128633--0.56132691) × R
    4.05799999999568e-05 × 6371000     		dr = 258.535179999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98361724--0.98356931) × cos(-0.56128633) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.846571129506811 × 6371000     		do = 258.510678645152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98361724--0.98356931) × cos(-0.56132691) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.846549529065612 × 6371000     		du = 258.504082690579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56128633)-sin(-0.56132691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846571129506811-0.846549529065612)×R²
    abs(-0.98356931--0.98361724)×2.16004411992543e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.16004411992543e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.16004411992543e-05×40589641000000     		ar = 66833.2522012618m²