Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45017 / 12343
↖ ↑ ↗
← N 73.936154°
E 67.285767°		 ← 169.01 m → N 73.936154°
E 67.291260°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 73.934634°
E 67.285767°		 ← 169.03 m →
28 568 m²		 N 73.934634°
E 67.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686912536621094 y=0.188346862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686912536621094 × 216)
    floor (0.686912536621094 × 65536)
    floor (45017.5)     		tx = 45017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188346862792969 × 216)
    floor (0.188346862792969 × 65536)
    floor (12343.5)     		ty = 12343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45017 / 12343 ti = "16/45017/12343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45017/12343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45017 ÷ 216
    45017 ÷ 65536     		x = 0.686904907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12343 ÷ 216
    12343 ÷ 65536     		y = 0.188339233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686904907226562 × 2 - 1) × π
    0.373809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17435817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188339233398438 × 2 - 1) × π
    0.623321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95822234947929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17435817} λ = 1.17435817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95822234947929))-π/2
    2×atan(7.08671815314249)-π/2
    2×1.43061283003603-π/2
    2.86122566007205-1.57079632675     		φ = 1.29042933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17435817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.285767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29042933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.936154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45017 KachelY 12343 1.17435817 1.29042933 67.285767 73.936154
    Oben rechts KachelX + 1 45018 KachelY 12343 1.17445404 1.29042933 67.291260 73.936154
    Unten links KachelX 45017 KachelY + 1 12344 1.17435817 1.29040280 67.285767 73.934634
    Unten rechts KachelX + 1 45018 KachelY + 1 12344 1.17445404 1.29040280 67.291260 73.934634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29042933-1.29040280) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29042933-1.29040280) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17435817-1.17445404) × cos(1.29042933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276708334211067 × 6371000     		do = 169.010066393188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17435817-1.17445404) × cos(1.29040280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.27673382822203 × 6371000     		du = 169.025637823293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29042933)-sin(1.29040280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276708334211067-0.27673382822203)×R²
    abs(1.17445404-1.17435817)×2.54940109630231e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54940109630231e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54940109630231e-05×40589641000000     		ar = 28567.841882069m²