Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45016 / 78232
↖ ↑ ↗
← S 32.898038°
W 56.359863°		 ← 256.45 m → S 32.898038°
W 56.357117°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
S 32.900344°
W 56.359863°		 ← 256.44 m →
65 761 m²		 S 32.900344°
W 56.357117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343448638916016 y=0.596866607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343448638916016 × 217)
    floor (0.343448638916016 × 131072)
    floor (45016.5)     		tx = 45016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596866607666016 × 217)
    floor (0.596866607666016 × 131072)
    floor (78232.5)     		ty = 78232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45016 / 78232 ti = "17/45016/78232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45016/78232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45016 ÷ 217
    45016 ÷ 131072     		x = 0.34344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78232 ÷ 217
    78232 ÷ 131072     		y = 0.59686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98366518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.1937255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.608606877576233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98366518} λ = -0.98366518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608606877576233))-π/2
    2×atan(0.544108350864105)-π/2
    2×0.498308621546841-π/2
    0.996617243093683-1.57079632675     		φ = -0.57417908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98366518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57417908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.898038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45016 KachelY 78232 -0.98366518 -0.57417908 -56.359863 -32.898038
    Oben rechts KachelX + 1 45017 KachelY 78232 -0.98361724 -0.57417908 -56.357117 -32.898038
    Unten links KachelX 45016 KachelY + 1 78233 -0.98366518 -0.57421933 -56.359863 -32.900344
    Unten rechts KachelX + 1 45017 KachelY + 1 78233 -0.98361724 -0.57421933 -56.357117 -32.900344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57417908--0.57421933) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dl = 256.432750000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57417908--0.57421933) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dr = 256.432750000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98366518--0.98361724) × cos(-0.57417908) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839638464457 × 6371000     		do = 256.447199339669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98366518--0.98361724) × cos(-0.57421933) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839616602162538 × 6371000     		du = 256.440522032204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57417908)-sin(-0.57421933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839638464457-0.839616602162538)×R²
    abs(-0.98361724--0.98366518)×2.18622944627711e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18622944627711e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18622944627711e-05×40589641000000     		ar = 65760.6044252592m²