Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45014 / 77897
↖ ↑ ↗
← S 32.122127°
W 56.365356°		 ← 258.62 m → S 32.122127°
W 56.362610°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
S 32.124453°
W 56.365356°		 ← 258.61 m →
66 893 m²		 S 32.124453°
W 56.362610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343433380126953 y=0.594310760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343433380126953 × 217)
    floor (0.343433380126953 × 131072)
    floor (45014.5)     		tx = 45014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594310760498047 × 217)
    floor (0.594310760498047 × 131072)
    floor (77897.5)     		ty = 77897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45014 / 77897 ti = "17/45014/77897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45014/77897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45014 ÷ 217
    45014 ÷ 131072     		x = 0.343429565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77897 ÷ 217
    77897 ÷ 131072     		y = 0.594306945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343429565429688 × 2 - 1) × π
    -0.313140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98376105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594306945800781 × 2 - 1) × π
    -0.188613891601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.592548016203514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98376105} λ = -0.98376105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592548016203514))-π/2
    2×atan(0.552916647757091)-π/2
    2×0.505079721623782-π/2
    1.01015944324756-1.57079632675     		φ = -0.56063688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98376105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.365356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56063688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.122127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45014 KachelY 77897 -0.98376105 -0.56063688 -56.365356 -32.122127
    Oben rechts KachelX + 1 45015 KachelY 77897 -0.98371312 -0.56063688 -56.362610 -32.122127
    Unten links KachelX 45014 KachelY + 1 77898 -0.98376105 -0.56067748 -56.365356 -32.124453
    Unten rechts KachelX + 1 45015 KachelY + 1 77898 -0.98371312 -0.56067748 -56.362610 -32.124453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56063688--0.56067748) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56063688--0.56067748) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98376105--0.98371312) × cos(-0.56063688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.846916637340389 × 6371000     		do = 258.616183619193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98376105--0.98371312) × cos(-0.56067748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.846895048579369 × 6371000     		du = 258.609591231303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56063688)-sin(-0.56067748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846916637340389-0.846895048579369)×R²
    abs(-0.98371312--0.98376105)×2.1588761019431e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.1588761019431e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.1588761019431e-05×40589641000000     		ar = 66893.4818641476m²