Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45013 / 78163
↖ ↑ ↗
← S 32.738772°
W 56.368103°		 ← 256.91 m → S 32.738772°
W 56.365356°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
S 32.741082°
W 56.368103°		 ← 256.90 m →
66 010 m²		 S 32.741082°
W 56.365356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343425750732422 y=0.596340179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343425750732422 × 217)
    floor (0.343425750732422 × 131072)
    floor (45013.5)     		tx = 45013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596340179443359 × 217)
    floor (0.596340179443359 × 131072)
    floor (78163.5)     		ty = 78163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45013 / 78163 ti = "17/45013/78163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45013/78163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45013 ÷ 217
    45013 ÷ 131072     		x = 0.343421936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78163 ÷ 217
    78163 ÷ 131072     		y = 0.596336364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343421936035156 × 2 - 1) × π
    -0.313156127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98380899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596336364746094 × 2 - 1) × π
    -0.192672729492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.605299231502449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98380899} λ = -0.98380899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605299231502449))-π/2
    2×atan(0.545911048413752)-π/2
    2×0.499698481282372-π/2
    0.999396962564744-1.57079632675     		φ = -0.57139936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98380899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.368103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57139936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.738772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45013 KachelY 78163 -0.98380899 -0.57139936 -56.368103 -32.738772
    Oben rechts KachelX + 1 45014 KachelY 78163 -0.98376105 -0.57139936 -56.365356 -32.738772
    Unten links KachelX 45013 KachelY + 1 78164 -0.98380899 -0.57143969 -56.368103 -32.741082
    Unten rechts KachelX + 1 45014 KachelY + 1 78164 -0.98376105 -0.57143969 -56.365356 -32.741082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57139936--0.57143969) × R
    4.03299999999218e-05 × 6371000     		dl = 256.942429999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57139936--0.57143969) × R
    4.03299999999218e-05 × 6371000     		dr = 256.942429999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98380899--0.98376105) × cos(-0.57139936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841145011596355 × 6371000     		do = 256.907337613957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98380899--0.98376105) × cos(-0.57143969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841123200059413 × 6371000     		du = 256.900675809146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57139936)-sin(-0.57143969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841145011596355-0.841123200059413)×R²
    abs(-0.98376105--0.98380899)×2.18115369426952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18115369426952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18115369426952e-05×40589641000000     		ar = 66009.5397700413m²