Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45013 / 77893
↖ ↑ ↗
← S 32.112822°
W 56.368103°		 ← 258.70 m → S 32.112822°
W 56.365356°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
S 32.115148°
W 56.368103°		 ← 258.69 m →
66 914 m²		 S 32.115148°
W 56.365356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343425750732422 y=0.594280242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343425750732422 × 217)
    floor (0.343425750732422 × 131072)
    floor (45013.5)     		tx = 45013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594280242919922 × 217)
    floor (0.594280242919922 × 131072)
    floor (77893.5)     		ty = 77893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45013 / 77893 ti = "17/45013/77893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45013/77893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45013 ÷ 217
    45013 ÷ 131072     		x = 0.343421936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77893 ÷ 217
    77893 ÷ 131072     		y = 0.594276428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343421936035156 × 2 - 1) × π
    -0.313156127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98380899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594276428222656 × 2 - 1) × π
    -0.188552856445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.592356268605034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98380899} λ = -0.98380899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592356268605034))-π/2
    2×atan(0.553022678361691)-π/2
    2×0.505160922878359-π/2
    1.01032184575672-1.57079632675     		φ = -0.56047448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98380899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.368103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56047448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.112822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45013 KachelY 77893 -0.98380899 -0.56047448 -56.368103 -32.112822
    Oben rechts KachelX + 1 45014 KachelY 77893 -0.98376105 -0.56047448 -56.365356 -32.112822
    Unten links KachelX 45013 KachelY + 1 77894 -0.98380899 -0.56051508 -56.368103 -32.115148
    Unten rechts KachelX + 1 45014 KachelY + 1 77894 -0.98376105 -0.56051508 -56.365356 -32.115148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56047448--0.56051508) × R
    4.06000000000573e-05 × 6371000     		dl = 258.662600000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56047448--0.56051508) × R
    4.06000000000573e-05 × 6371000     		dr = 258.662600000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98380899--0.98376105) × cos(-0.56047448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847002978423876 × 6371000     		do = 258.696511467147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98380899--0.98376105) × cos(-0.56051508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.846981395247164 × 6371000     		du = 258.689919409428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56047448)-sin(-0.56051508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847002978423876-0.846981395247164)×R²
    abs(-0.98376105--0.98380899)×2.15831767119701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15831767119701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15831767119701e-05×40589641000000     		ar = 66914.259716944m²