Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45012 / 78164
↖ ↑ ↗
← S 32.741082°
W 56.370850°		 ← 256.90 m → S 32.741082°
W 56.368103°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 32.743393°
W 56.370850°		 ← 256.89 m →
65 991 m²		 S 32.743393°
W 56.368103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343418121337891 y=0.596347808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343418121337891 × 217)
    floor (0.343418121337891 × 131072)
    floor (45012.5)     		tx = 45012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596347808837891 × 217)
    floor (0.596347808837891 × 131072)
    floor (78164.5)     		ty = 78164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45012 / 78164 ti = "17/45012/78164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45012/78164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45012 ÷ 217
    45012 ÷ 131072     		x = 0.343414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78164 ÷ 217
    78164 ÷ 131072     		y = 0.596343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.31317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98385693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.19268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.605347168402069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98385693} λ = -0.98385693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605347168402069))-π/2
    2×atan(0.54588487975785)-π/2
    2×0.49967832060177-π/2
    0.999356641203541-1.57079632675     		φ = -0.57143969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98385693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.370850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57143969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.741082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45012 KachelY 78164 -0.98385693 -0.57143969 -56.370850 -32.741082
    Oben rechts KachelX + 1 45013 KachelY 78164 -0.98380899 -0.57143969 -56.368103 -32.741082
    Unten links KachelX 45012 KachelY + 1 78165 -0.98385693 -0.57148001 -56.370850 -32.743393
    Unten rechts KachelX + 1 45013 KachelY + 1 78165 -0.98380899 -0.57148001 -56.368103 -32.743393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57143969--0.57148001) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dl = 256.878720000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57143969--0.57148001) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dr = 256.878720000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98385693--0.98380899) × cos(-0.57143969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841123200059413 × 6371000     		do = 256.900675809146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98385693--0.98380899) × cos(-0.57148001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84110139256315 × 6371000     		du = 256.894015238462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57143969)-sin(-0.57148001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841123200059413-0.84110139256315)×R²
    abs(-0.98380899--0.98385693)×2.18074962623493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18074962623493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18074962623493e-05×40589641000000     		ar = 65991.4612986141m²