Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45011 / 78008
↖ ↑ ↗
← S 32.379962°
W 56.373596°		 ← 257.88 m → S 32.379962°
W 56.370850°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
S 32.382281°
W 56.373596°		 ← 257.88 m →
66 507 m²		 S 32.382281°
W 56.370850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343410491943359 y=0.595157623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343410491943359 × 217)
    floor (0.343410491943359 × 131072)
    floor (45011.5)     		tx = 45011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595157623291016 × 217)
    floor (0.595157623291016 × 131072)
    floor (78008.5)     		ty = 78008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45011 / 78008 ti = "17/45011/78008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45011/78008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45011 ÷ 217
    45011 ÷ 131072     		x = 0.343406677246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78008 ÷ 217
    78008 ÷ 131072     		y = 0.59515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343406677246094 × 2 - 1) × π
    -0.313186645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.98390486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.59786901206134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98390486} λ = -0.98390486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.59786901206134))-π/2
    2×atan(0.54998239406365)-π/2
    2×0.502829693793704-π/2
    1.00565938758741-1.57079632675     		φ = -0.56513694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98390486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.373596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56513694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.379962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45011 KachelY 78008 -0.98390486 -0.56513694 -56.373596 -32.379962
    Oben rechts KachelX + 1 45012 KachelY 78008 -0.98385693 -0.56513694 -56.370850 -32.379962
    Unten links KachelX 45011 KachelY + 1 78009 -0.98390486 -0.56517742 -56.373596 -32.382281
    Unten rechts KachelX + 1 45012 KachelY + 1 78009 -0.98385693 -0.56517742 -56.370850 -32.382281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56513694--0.56517742) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dl = 257.89808000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56513694--0.56517742) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dr = 257.89808000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98390486--0.98385693) × cos(-0.56513694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844515272662637 × 6371000     		do = 257.882898026424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98390486--0.98385693) × cos(-0.56517742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844493593656856 × 6371000     		du = 257.87627808121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56513694)-sin(-0.56517742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844515272662637-0.844493593656856)×R²
    abs(-0.98385693--0.98390486)×2.16790057815386e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16790057815386e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16790057815386e-05×40589641000000     		ar = 66506.6506393963m²