Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45010 / 78260
↖ ↑ ↗
← S 32.962586°
W 56.376343°		 ← 256.26 m → S 32.962586°
W 56.373596°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 32.964891°
W 56.376343°		 ← 256.25 m →
65 664 m²		 S 32.964891°
W 56.373596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343402862548828 y=0.597080230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343402862548828 × 217)
    floor (0.343402862548828 × 131072)
    floor (45010.5)     		tx = 45010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597080230712891 × 217)
    floor (0.597080230712891 × 131072)
    floor (78260.5)     		ty = 78260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45010 / 78260 ti = "17/45010/78260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45010/78260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45010 ÷ 217
    45010 ÷ 131072     		x = 0.343399047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78260 ÷ 217
    78260 ÷ 131072     		y = 0.597076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343399047851562 × 2 - 1) × π
    -0.313201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98395280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.19415283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.609949110765594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98395280} λ = -0.98395280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609949110765594))-π/2
    2×atan(0.543378520487814)-π/2
    2×0.497745331712411-π/2
    0.995490663424821-1.57079632675     		φ = -0.57530566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98395280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.376343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57530566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.962586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45010 KachelY 78260 -0.98395280 -0.57530566 -56.376343 -32.962586
    Oben rechts KachelX + 1 45011 KachelY 78260 -0.98390486 -0.57530566 -56.373596 -32.962586
    Unten links KachelX 45010 KachelY + 1 78261 -0.98395280 -0.57534588 -56.376343 -32.964891
    Unten rechts KachelX + 1 45011 KachelY + 1 78261 -0.98390486 -0.57534588 -56.373596 -32.964891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57530566--0.57534588) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dl = 256.241619999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57530566--0.57534588) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dr = 256.241619999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98395280--0.98390486) × cos(-0.57530566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839026034679078 × 6371000     		do = 256.260147520955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98395280--0.98390486) × cos(-0.57534588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839004150649468 × 6371000     		du = 256.253463575017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57530566)-sin(-0.57534588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839026034679078-0.839004150649468)×R²
    abs(-0.98390486--0.98395280)×2.18840296104528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18840296104528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18840296104528e-05×40589641000000     		ar = 65663.6589982169m²