Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4501 / 3198
↖ ↑ ↗
← N 80.876312°
W130.550537°		 ← 193.70 m → N 80.876312°
W130.539551°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
N 80.874570°
W130.550537°		 ← 193.74 m →
37 532 m²		 N 80.874570°
W130.539551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137374877929688 y=0.0976104736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137374877929688 × 215)
    floor (0.137374877929688 × 32768)
    floor (4501.5)     		tx = 4501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976104736328125 × 215)
    floor (0.0976104736328125 × 32768)
    floor (3198.5)     		ty = 3198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4501 / 3198 ti = "15/4501/3198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4501/3198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4501 ÷ 215
    4501 ÷ 32768     		x = 0.137359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3198 ÷ 215
    3198 ÷ 32768     		y = 0.09759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.72528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27853671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09759521484375 × 2 - 1) × π
    0.8048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52838383356024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27853671} λ = -2.27853671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52838383356024))-π/2
    2×atan(12.5332339673613)-π/2
    2×1.49117712900243-π/2
    2.98235425800485-1.57079632675     		φ = 1.41155793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27853671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.550537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41155793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.876312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4501 KachelY 3198 -2.27853671 1.41155793 -130.550537 80.876312
    Oben rechts KachelX + 1 4502 KachelY 3198 -2.27834497 1.41155793 -130.539551 80.876312
    Unten links KachelX 4501 KachelY + 1 3199 -2.27853671 1.41152752 -130.550537 80.874570
    Unten rechts KachelX + 1 4502 KachelY + 1 3199 -2.27834497 1.41152752 -130.539551 80.874570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41155793-1.41152752) × R
    3.04100000001473e-05 × 6371000     		dl = 193.742110000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41155793-1.41152752) × R
    3.04100000001473e-05 × 6371000     		dr = 193.742110000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27853671--2.27834497) × cos(1.41155793) × R
    0.000191739999999996 × 0.158566285018328 × 6371000     		do = 193.700695247054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27853671--2.27834497) × cos(1.41152752) × R
    0.000191739999999996 × 0.158596310207851 × 6371000     		du = 193.737373284159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41155793)-sin(1.41152752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158566285018328-0.158596310207851)×R²
    abs(-2.27834497--2.27853671)×3.00251895232195e-05×R²
    0.000191739999999996×3.00251895232195e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.00251895232195e-05×40589641000000     		ar = 37531.5344492183m²