Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4501 / 2477
↖ ↑ ↗
← N 82.050300°
W130.550537°		 ← 168.95 m → N 82.050300°
W130.539551°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 82.048780°
W130.550537°		 ← 168.98 m →
28 548 m²		 N 82.048780°
W130.539551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137374877929688 y=0.0756072998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137374877929688 × 215)
    floor (0.137374877929688 × 32768)
    floor (4501.5)     		tx = 4501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756072998046875 × 215)
    floor (0.0756072998046875 × 32768)
    floor (2477.5)     		ty = 2477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4501 / 2477 ti = "15/4501/2477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4501/2477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4501 ÷ 215
    4501 ÷ 32768     		x = 0.137359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2477 ÷ 215
    2477 ÷ 32768     		y = 0.075592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.72528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27853671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.075592041015625 × 2 - 1) × π
    0.84881591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.66663385206448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27853671} λ = -2.27853671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66663385206448))-π/2
    2×atan(14.3914438378971)-π/2
    2×1.50142210448807-π/2
    3.00284420897614-1.57079632675     		φ = 1.43204788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27853671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.550537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43204788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.050300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4501 KachelY 2477 -2.27853671 1.43204788 -130.550537 82.050300
    Oben rechts KachelX + 1 4502 KachelY 2477 -2.27834497 1.43204788 -130.539551 82.050300
    Unten links KachelX 4501 KachelY + 1 2478 -2.27853671 1.43202136 -130.550537 82.048780
    Unten rechts KachelX + 1 4502 KachelY + 1 2478 -2.27834497 1.43202136 -130.539551 82.048780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43204788-1.43202136) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43204788-1.43202136) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27853671--2.27834497) × cos(1.43204788) × R
    0.000191739999999996 × 0.138303697674835 × 6371000     		do = 168.948414171129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27853671--2.27834497) × cos(1.43202136) × R
    0.000191739999999996 × 0.13832996276545 × 6371000     		du = 168.980498963381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43204788)-sin(1.43202136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138303697674835-0.13832996276545)×R²
    abs(-2.27834497--2.27853671)×2.62650906152073e-05×R²
    0.000191739999999996×2.62650906152073e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.62650906152073e-05×40589641000000     		ar = 28548.052101682m²