Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45009 / 78161
↖ ↑ ↗
← S 32.734151°
W 56.379089°		 ← 256.92 m → S 32.734151°
W 56.376343°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 32.736462°
W 56.379089°		 ← 256.91 m →
65 997 m²		 S 32.736462°
W 56.376343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343395233154297 y=0.596324920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343395233154297 × 217)
    floor (0.343395233154297 × 131072)
    floor (45009.5)     		tx = 45009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596324920654297 × 217)
    floor (0.596324920654297 × 131072)
    floor (78161.5)     		ty = 78161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45009 / 78161 ti = "17/45009/78161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45009/78161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45009 ÷ 217
    45009 ÷ 131072     		x = 0.343391418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78161 ÷ 217
    78161 ÷ 131072     		y = 0.596321105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343391418457031 × 2 - 1) × π
    -0.313217163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98400074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596321105957031 × 2 - 1) × π
    -0.192642211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.605203357703209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98400074} λ = -0.98400074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605203357703209))-π/2
    2×atan(0.545963389489039)-π/2
    2×0.499738804211558-π/2
    0.999477608423116-1.57079632675     		φ = -0.57131872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98400074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.379089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57131872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.734151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45009 KachelY 78161 -0.98400074 -0.57131872 -56.379089 -32.734151
    Oben rechts KachelX + 1 45010 KachelY 78161 -0.98395280 -0.57131872 -56.376343 -32.734151
    Unten links KachelX 45009 KachelY + 1 78162 -0.98400074 -0.57135904 -56.379089 -32.736462
    Unten rechts KachelX + 1 45010 KachelY + 1 78162 -0.98395280 -0.57135904 -56.376343 -32.736462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57131872--0.57135904) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dl = 256.878720000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57131872--0.57135904) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dr = 256.878720000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98400074--0.98395280) × cos(-0.57131872) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.84118861975098 × 6371000     		do = 256.920656667448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98400074--0.98395280) × cos(-0.57135904) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.841166816357411 × 6371000     		du = 256.913997349833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57131872)-sin(-0.57135904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84118861975098-0.841166816357411)×R²
    abs(-0.98395280--0.98400074)×2.18033935688311e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18033935688311e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18033935688311e-05×40589641000000     		ar = 65996.5941167986m²