Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45009 / 78003
↖ ↑ ↗
← S 32.368363°
W 56.379089°		 ← 257.97 m → S 32.368363°
W 56.376343°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
S 32.370683°
W 56.379089°		 ← 257.96 m →
66 545 m²		 S 32.370683°
W 56.376343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343395233154297 y=0.595119476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343395233154297 × 217)
    floor (0.343395233154297 × 131072)
    floor (45009.5)     		tx = 45009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595119476318359 × 217)
    floor (0.595119476318359 × 131072)
    floor (78003.5)     		ty = 78003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45009 / 78003 ti = "17/45009/78003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45009/78003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45009 ÷ 217
    45009 ÷ 131072     		x = 0.343391418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78003 ÷ 217
    78003 ÷ 131072     		y = 0.595115661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343391418457031 × 2 - 1) × π
    -0.313217163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98400074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595115661621094 × 2 - 1) × π
    -0.190231323242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.59762932756324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98400074} λ = -0.98400074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.59762932756324))-π/2
    2×atan(0.550114232116873)-π/2
    2×0.502930908898472-π/2
    1.00586181779694-1.57079632675     		φ = -0.56493451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98400074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.379089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56493451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.368363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45009 KachelY 78003 -0.98400074 -0.56493451 -56.379089 -32.368363
    Oben rechts KachelX + 1 45010 KachelY 78003 -0.98395280 -0.56493451 -56.376343 -32.368363
    Unten links KachelX 45009 KachelY + 1 78004 -0.98400074 -0.56497500 -56.379089 -32.370683
    Unten rechts KachelX + 1 45010 KachelY + 1 78004 -0.98395280 -0.56497500 -56.376343 -32.370683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56493451--0.56497500) × R
    4.04900000000596e-05 × 6371000     		dl = 257.96179000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56493451--0.56497500) × R
    4.04900000000596e-05 × 6371000     		dr = 257.96179000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98400074--0.98395280) × cos(-0.56493451) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.844623662993924 × 6371000     		do = 257.969807291858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98400074--0.98395280) × cos(-0.56497500) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.844601985554818 × 6371000     		du = 257.963186443978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56493451)-sin(-0.56497500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844623662993924-0.844601985554818)×R²
    abs(-0.98395280--0.98400074)×2.16774391055274e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.16774391055274e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.16774391055274e-05×40589641000000     		ar = 66545.4993012346m²