Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45008 / 78258
↖ ↑ ↗
← S 32.957977°
W 56.381836°		 ← 256.27 m → S 32.957977°
W 56.379089°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 32.960282°
W 56.381836°		 ← 256.27 m →
65 667 m²		 S 32.960282°
W 56.379089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343387603759766 y=0.597064971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343387603759766 × 217)
    floor (0.343387603759766 × 131072)
    floor (45008.5)     		tx = 45008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597064971923828 × 217)
    floor (0.597064971923828 × 131072)
    floor (78258.5)     		ty = 78258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45008 / 78258 ti = "17/45008/78258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45008/78258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45008 ÷ 217
    45008 ÷ 131072     		x = 0.3433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78258 ÷ 217
    78258 ÷ 131072     		y = 0.597061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98404868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597061157226562 × 2 - 1) × π
    -0.194122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.609853236966354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98404868} λ = -0.98404868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609853236966354))-π/2
    2×atan(0.543430618748388)-π/2
    2×0.497785553068129-π/2
    0.995571106136257-1.57079632675     		φ = -0.57522522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98404868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57522522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.957977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45008 KachelY 78258 -0.98404868 -0.57522522 -56.381836 -32.957977
    Oben rechts KachelX + 1 45009 KachelY 78258 -0.98400074 -0.57522522 -56.379089 -32.957977
    Unten links KachelX 45008 KachelY + 1 78259 -0.98404868 -0.57526544 -56.381836 -32.960282
    Unten rechts KachelX + 1 45009 KachelY + 1 78259 -0.98400074 -0.57526544 -56.379089 -32.960282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57522522--0.57526544) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57522522--0.57526544) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98404868--0.98400074) × cos(-0.57522522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839069798666516 × 6371000     		do = 256.273514169204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98404868--0.98400074) × cos(-0.57526544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83904791735144 × 6371000     		du = 256.266831052354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57522522)-sin(-0.57526544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839069798666516-0.83904791735144)×R²
    abs(-0.98400074--0.98404868)×2.18813150767438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18813150767438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18813150767438e-05×40589641000000     		ar = 65667.0841962775m²