Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45007 / 78257
↖ ↑ ↗
← S 32.955673°
W 56.384582°		 ← 256.23 m → S 32.955673°
W 56.381836°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 32.957977°
W 56.384582°		 ← 256.22 m →
65 655 m²		 S 32.957977°
W 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343379974365234 y=0.597057342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343379974365234 × 217)
    floor (0.343379974365234 × 131072)
    floor (45007.5)     		tx = 45007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597057342529297 × 217)
    floor (0.597057342529297 × 131072)
    floor (78257.5)     		ty = 78257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45007 / 78257 ti = "17/45007/78257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45007/78257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45007 ÷ 217
    45007 ÷ 131072     		x = 0.343376159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78257 ÷ 217
    78257 ÷ 131072     		y = 0.597053527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343376159667969 × 2 - 1) × π
    -0.313247680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.98409661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597053527832031 × 2 - 1) × π
    -0.194107055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.609805300066734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98409661} λ = -0.98409661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609805300066734))-π/2
    2×atan(0.543456669751807)-π/2
    2×0.497805664532712-π/2
    0.995611329065423-1.57079632675     		φ = -0.57518500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98409661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.384582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57518500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.955673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45007 KachelY 78257 -0.98409661 -0.57518500 -56.384582 -32.955673
    Oben rechts KachelX + 1 45008 KachelY 78257 -0.98404868 -0.57518500 -56.381836 -32.955673
    Unten links KachelX 45007 KachelY + 1 78258 -0.98409661 -0.57522522 -56.384582 -32.957977
    Unten rechts KachelX + 1 45008 KachelY + 1 78258 -0.98404868 -0.57522522 -56.381836 -32.957977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57518500--0.57522522) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57518500--0.57522522) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98409661--0.98404868) × cos(-0.57518500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839091678624273 × 6371000     		do = 256.226738340973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98409661--0.98404868) × cos(-0.57522522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839069798666516 × 6371000     		du = 256.220057032656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57518500)-sin(-0.57522522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839091678624273-0.839069798666516)×R²
    abs(-0.98404868--0.98409661)×2.18799577569317e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18799577569317e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18799577569317e-05×40589641000000     		ar = 65655.0985141138m²