Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45007 / 78229
↖ ↑ ↗
← S 32.891120°
W 56.384582°		 ← 256.41 m → S 32.891120°
W 56.381836°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
S 32.893426°
W 56.384582°		 ← 256.41 m →
65 752 m²		 S 32.893426°
W 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343379974365234 y=0.596843719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343379974365234 × 217)
    floor (0.343379974365234 × 131072)
    floor (45007.5)     		tx = 45007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596843719482422 × 217)
    floor (0.596843719482422 × 131072)
    floor (78229.5)     		ty = 78229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45007 / 78229 ti = "17/45007/78229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45007/78229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45007 ÷ 217
    45007 ÷ 131072     		x = 0.343376159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78229 ÷ 217
    78229 ÷ 131072     		y = 0.596839904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343376159667969 × 2 - 1) × π
    -0.313247680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.98409661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596839904785156 × 2 - 1) × π
    -0.193679809570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.608463066877373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98409661} λ = -0.98409661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608463066877373))-π/2
    2×atan(0.544186605093061)-π/2
    2×0.498368998401724-π/2
    0.996737996803448-1.57079632675     		φ = -0.57405833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98409661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.384582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57405833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.891120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45007 KachelY 78229 -0.98409661 -0.57405833 -56.384582 -32.891120
    Oben rechts KachelX + 1 45008 KachelY 78229 -0.98404868 -0.57405833 -56.381836 -32.891120
    Unten links KachelX 45007 KachelY + 1 78230 -0.98409661 -0.57409858 -56.384582 -32.893426
    Unten rechts KachelX + 1 45008 KachelY + 1 78230 -0.98404868 -0.57409858 -56.381836 -32.893426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57405833--0.57409858) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dl = 256.432750000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57405833--0.57409858) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dr = 256.432750000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98409661--0.98404868) × cos(-0.57405833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839704043178646 × 6371000     		do = 256.413731224396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98409661--0.98404868) × cos(-0.57409858) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.83968218496509 × 6371000     		du = 256.407056555932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57405833)-sin(-0.57409858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839704043178646-0.83968218496509)×R²
    abs(-0.98404868--0.98409661)×2.18582135561585e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18582135561585e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18582135561585e-05×40589641000000     		ar = 65752.0224429115m²