Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45007 / 12316
↖ ↑ ↗
← N 73.977144°
E 67.230835°		 ← 168.59 m → N 73.977144°
E 67.236328°		 →
↑
168.64 m
↓
↑
168.64 m
↓
N 73.975627°
E 67.230835°		 ← 168.61 m →
28 432 m²		 N 73.975627°
E 67.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686759948730469 y=0.187934875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686759948730469 × 216)
    floor (0.686759948730469 × 65536)
    floor (45007.5)     		tx = 45007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187934875488281 × 216)
    floor (0.187934875488281 × 65536)
    floor (12316.5)     		ty = 12316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45007 / 12316 ti = "16/45007/12316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45007/12316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45007 ÷ 216
    45007 ÷ 65536     		x = 0.686752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12316 ÷ 216
    12316 ÷ 65536     		y = 0.18792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686752319335938 × 2 - 1) × π
    0.373504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17339943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18792724609375 × 2 - 1) × π
    0.6241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96081094205878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17339943} λ = 1.17339943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96081094205878))-π/2
    2×atan(7.10508654304858)-π/2
    2×1.43097052749776-π/2
    2.86194105499552-1.57079632675     		φ = 1.29114473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17339943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.230835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29114473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.977144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45007 KachelY 12316 1.17339943 1.29114473 67.230835 73.977144
    Oben rechts KachelX + 1 45008 KachelY 12316 1.17349530 1.29114473 67.236328 73.977144
    Unten links KachelX 45007 KachelY + 1 12317 1.17339943 1.29111826 67.230835 73.975627
    Unten rechts KachelX + 1 45008 KachelY + 1 12317 1.17349530 1.29111826 67.236328 73.975627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29114473-1.29111826) × R
    2.64700000001117e-05 × 6371000     		dl = 168.640370000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29114473-1.29111826) × R
    2.64700000001117e-05 × 6371000     		dr = 168.640370000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17339943-1.17349530) × cos(1.29114473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276020797003212 × 6371000     		do = 168.590127075211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17339943-1.17349530) × cos(1.29111826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276046238591034 × 6371000     		du = 168.605666485902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29114473)-sin(1.29111826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276020797003212-0.276046238591034)×R²
    abs(1.17349530-1.17339943)×2.54415878228609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54415878228609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54415878228609e-05×40589641000000     		ar = 28432.4116962607m²