Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45006 / 78263
↖ ↑ ↗
← S 32.969500°
W 56.387329°		 ← 256.24 m → S 32.969500°
W 56.384582°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 32.971804°
W 56.387329°		 ← 256.23 m →
65 659 m²		 S 32.971804°
W 56.384582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343372344970703 y=0.597103118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343372344970703 × 217)
    floor (0.343372344970703 × 131072)
    floor (45006.5)     		tx = 45006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597103118896484 × 217)
    floor (0.597103118896484 × 131072)
    floor (78263.5)     		ty = 78263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45006 / 78263 ti = "17/45006/78263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45006/78263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45006 ÷ 217
    45006 ÷ 131072     		x = 0.343368530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78263 ÷ 217
    78263 ÷ 131072     		y = 0.597099304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343368530273438 × 2 - 1) × π
    -0.313262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98414455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597099304199219 × 2 - 1) × π
    -0.194198608398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.610092921464455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98414455} λ = -0.98414455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610092921464455))-π/2
    2×atan(0.543300382461714)-π/2
    2×0.497685003612736-π/2
    0.995370007225472-1.57079632675     		φ = -0.57542632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98414455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.387329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57542632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.969500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45006 KachelY 78263 -0.98414455 -0.57542632 -56.387329 -32.969500
    Oben rechts KachelX + 1 45007 KachelY 78263 -0.98409661 -0.57542632 -56.384582 -32.969500
    Unten links KachelX 45006 KachelY + 1 78264 -0.98414455 -0.57546654 -56.387329 -32.971804
    Unten rechts KachelX + 1 45007 KachelY + 1 78264 -0.98409661 -0.57546654 -56.384582 -32.971804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57542632--0.57546654) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dl = 256.241619999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57542632--0.57546654) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dr = 256.241619999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98414455--0.98409661) × cos(-0.57542632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838960378518641 × 6371000     		do = 256.240094439568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98414455--0.98409661) × cos(-0.57546654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838938490417496 × 6371000     		du = 256.233409250079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57542632)-sin(-0.57546654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838960378518641-0.838938490417496)×R²
    abs(-0.98409661--0.98414455)×2.18881011453398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18881011453398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18881011453398e-05×40589641000000     		ar = 65658.5204049302m²