Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45005 / 78243
↖ ↑ ↗
← S 32.923402°
W 56.390076°		 ← 256.37 m → S 32.923402°
W 56.387329°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
S 32.925707°
W 56.390076°		 ← 256.37 m →
65 709 m²		 S 32.925707°
W 56.387329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343364715576172 y=0.596950531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343364715576172 × 217)
    floor (0.343364715576172 × 131072)
    floor (45005.5)     		tx = 45005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596950531005859 × 217)
    floor (0.596950531005859 × 131072)
    floor (78243.5)     		ty = 78243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45005 / 78243 ti = "17/45005/78243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45005/78243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45005 ÷ 217
    45005 ÷ 131072     		x = 0.343360900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78243 ÷ 217
    78243 ÷ 131072     		y = 0.596946716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343360900878906 × 2 - 1) × π
    -0.313278198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.98419249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596946716308594 × 2 - 1) × π
    -0.193893432617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.609134183472054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98419249} λ = -0.98419249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609134183472054))-π/2
    2×atan(0.543821514954508)-π/2
    2×0.498087280096313-π/2
    0.996174560192626-1.57079632675     		φ = -0.57462177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98419249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.390076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57462177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.923402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45005 KachelY 78243 -0.98419249 -0.57462177 -56.390076 -32.923402
    Oben rechts KachelX + 1 45006 KachelY 78243 -0.98414455 -0.57462177 -56.387329 -32.923402
    Unten links KachelX 45005 KachelY + 1 78244 -0.98419249 -0.57466200 -56.390076 -32.925707
    Unten rechts KachelX + 1 45006 KachelY + 1 78244 -0.98414455 -0.57466200 -56.387329 -32.925707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57462177--0.57466200) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dl = 256.305329999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57462177--0.57466200) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dr = 256.305329999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98419249--0.98414455) × cos(-0.57462177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839397937022073 × 6371000     		do = 256.373736069272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98419249--0.98414455) × cos(-0.57466200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839376070640063 × 6371000     		du = 256.367057513365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57462177)-sin(-0.57466200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839397937022073-0.839376070640063)×R²
    abs(-0.98414455--0.98419249)×2.18663820096276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18663820096276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18663820096276e-05×40589641000000     		ar = 65709.099160733m²