Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45003 / 78255
↖ ↑ ↗
← S 32.951063°
W 56.395569°		 ← 256.29 m → S 32.951063°
W 56.392822°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 32.953368°
W 56.395569°		 ← 256.29 m →
65 672 m²		 S 32.953368°
W 56.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343349456787109 y=0.597042083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343349456787109 × 217)
    floor (0.343349456787109 × 131072)
    floor (45003.5)     		tx = 45003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597042083740234 × 217)
    floor (0.597042083740234 × 131072)
    floor (78255.5)     		ty = 78255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45003 / 78255 ti = "17/45003/78255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45003/78255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45003 ÷ 217
    45003 ÷ 131072     		x = 0.343345642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78255 ÷ 217
    78255 ÷ 131072     		y = 0.597038269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343345642089844 × 2 - 1) × π
    -0.313308715820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.98428836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597038269042969 × 2 - 1) × π
    -0.194076538085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.609709426267494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98428836} λ = -0.98428836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609709426267494))-π/2
    2×atan(0.543508775505206)-π/2
    2×0.497845889035231-π/2
    0.995691778070461-1.57079632675     		φ = -0.57510455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98428836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.395569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57510455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.951063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45003 KachelY 78255 -0.98428836 -0.57510455 -56.395569 -32.951063
    Oben rechts KachelX + 1 45004 KachelY 78255 -0.98424042 -0.57510455 -56.392822 -32.951063
    Unten links KachelX 45003 KachelY + 1 78256 -0.98428836 -0.57514477 -56.395569 -32.953368
    Unten rechts KachelX + 1 45004 KachelY + 1 78256 -0.98424042 -0.57514477 -56.392822 -32.953368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57510455--0.57514477) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dl = 256.241619999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57510455--0.57514477) × R
    4.02199999999242e-05 × 6371000     		dr = 256.241619999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98428836--0.98424042) × cos(-0.57510455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839135439906911 × 6371000     		do = 256.293562693626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98428836--0.98424042) × cos(-0.57514477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839113562664238 × 6371000     		du = 256.286880820593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57510455)-sin(-0.57514477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839135439906911-0.839113562664238)×R²
    abs(-0.98424042--0.98428836)×2.18772426733294e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18772426733294e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18772426733294e-05×40589641000000     		ar = 65672.2216218967m²