Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45003 / 78221
↖ ↑ ↗
← S 32.872667°
W 56.395569°		 ← 256.52 m → S 32.872667°
W 56.392822°		 →
↑
256.50 m
↓
↑
256.50 m
↓
S 32.874974°
W 56.395569°		 ← 256.51 m →
65 796 m²		 S 32.874974°
W 56.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343349456787109 y=0.596782684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343349456787109 × 217)
    floor (0.343349456787109 × 131072)
    floor (45003.5)     		tx = 45003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596782684326172 × 217)
    floor (0.596782684326172 × 131072)
    floor (78221.5)     		ty = 78221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45003 / 78221 ti = "17/45003/78221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45003/78221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45003 ÷ 217
    45003 ÷ 131072     		x = 0.343345642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78221 ÷ 217
    78221 ÷ 131072     		y = 0.596778869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343345642089844 × 2 - 1) × π
    -0.313308715820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.98428836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596778869628906 × 2 - 1) × π
    -0.193557739257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.608079571680412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98428836} λ = -0.98428836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608079571680412))-π/2
    2×atan(0.544395338063852)-π/2
    2×0.498530026399507-π/2
    0.997060052799014-1.57079632675     		φ = -0.57373627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98428836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.395569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57373627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.872667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45003 KachelY 78221 -0.98428836 -0.57373627 -56.395569 -32.872667
    Oben rechts KachelX + 1 45004 KachelY 78221 -0.98424042 -0.57373627 -56.392822 -32.872667
    Unten links KachelX 45003 KachelY + 1 78222 -0.98428836 -0.57377653 -56.395569 -32.874974
    Unten rechts KachelX + 1 45004 KachelY + 1 78222 -0.98424042 -0.57377653 -56.392822 -32.874974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57373627--0.57377653) × R
    4.02599999999032e-05 × 6371000     		dl = 256.496459999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57373627--0.57377653) × R
    4.02599999999032e-05 × 6371000     		dr = 256.496459999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98428836--0.98424042) × cos(-0.57373627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839878892477123 × 6371000     		do = 256.520632245038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98428836--0.98424042) × cos(-0.57377653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839857039721495 × 6371000     		du = 256.513957850979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57373627)-sin(-0.57377653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839878892477123-0.839857039721495)×R²
    abs(-0.98424042--0.98428836)×2.18527556287151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18527556287151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18527556287151e-05×40589641000000     		ar = 65795.7781174498m²