Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45002 / 78222
↖ ↑ ↗
← S 32.874974°
W 56.398316°		 ← 256.51 m → S 32.874974°
W 56.395569°		 →
↑
256.50 m
↓
↑
256.50 m
↓
S 32.877280°
W 56.398316°		 ← 256.51 m →
65 794 m²		 S 32.877280°
W 56.395569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343341827392578 y=0.596790313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343341827392578 × 217)
    floor (0.343341827392578 × 131072)
    floor (45002.5)     		tx = 45002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596790313720703 × 217)
    floor (0.596790313720703 × 131072)
    floor (78222.5)     		ty = 78222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45002 / 78222 ti = "17/45002/78222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45002/78222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45002 ÷ 217
    45002 ÷ 131072     		x = 0.343338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78222 ÷ 217
    78222 ÷ 131072     		y = 0.596786499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.313323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98433630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596786499023438 × 2 - 1) × π
    -0.193572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.608127508580032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98433630} λ = -0.98433630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608127508580032))-π/2
    2×atan(0.544369242064663)-π/2
    2×0.498509896066369-π/2
    0.997019792132739-1.57079632675     		φ = -0.57377653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98433630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.398316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57377653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.874974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45002 KachelY 78222 -0.98433630 -0.57377653 -56.398316 -32.874974
    Oben rechts KachelX + 1 45003 KachelY 78222 -0.98428836 -0.57377653 -56.395569 -32.874974
    Unten links KachelX 45002 KachelY + 1 78223 -0.98433630 -0.57381679 -56.398316 -32.877280
    Unten rechts KachelX + 1 45003 KachelY + 1 78223 -0.98428836 -0.57381679 -56.395569 -32.877280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57377653--0.57381679) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dl = 256.49646000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57377653--0.57381679) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dr = 256.49646000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98433630--0.98428836) × cos(-0.57377653) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839857039721495 × 6371000     		do = 256.513957851573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98433630--0.98428836) × cos(-0.57381679) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839835185604569 × 6371000     		du = 256.507283041739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57377653)-sin(-0.57381679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839857039721495-0.839835185604569)×R²
    abs(-0.98428836--0.98433630)×2.18541169257902e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18541169257902e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18541169257902e-05×40589641000000     		ar = 65794.0661058622m²