Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45002 / 78218
↖ ↑ ↗
← S 32.865747°
W 56.398316°		 ← 256.54 m → S 32.865747°
W 56.395569°		 →
↑
256.50 m
↓
↑
256.50 m
↓
S 32.868053°
W 56.398316°		 ← 256.53 m →
65 801 m²		 S 32.868053°
W 56.395569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343341827392578 y=0.596759796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343341827392578 × 217)
    floor (0.343341827392578 × 131072)
    floor (45002.5)     		tx = 45002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596759796142578 × 217)
    floor (0.596759796142578 × 131072)
    floor (78218.5)     		ty = 78218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45002 / 78218 ti = "17/45002/78218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45002/78218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45002 ÷ 217
    45002 ÷ 131072     		x = 0.343338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78218 ÷ 217
    78218 ÷ 131072     		y = 0.596755981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.313323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98433630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596755981445312 × 2 - 1) × π
    -0.193511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.607935760981552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98433630} λ = -0.98433630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607935760981552))-π/2
    2×atan(0.544473633567606)-π/2
    2×0.498590420541499-π/2
    0.997180841082999-1.57079632675     		φ = -0.57361549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98433630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.398316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57361549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.865747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45002 KachelY 78218 -0.98433630 -0.57361549 -56.398316 -32.865747
    Oben rechts KachelX + 1 45003 KachelY 78218 -0.98428836 -0.57361549 -56.395569 -32.865747
    Unten links KachelX 45002 KachelY + 1 78219 -0.98433630 -0.57365575 -56.398316 -32.868053
    Unten rechts KachelX + 1 45003 KachelY + 1 78219 -0.98428836 -0.57365575 -56.395569 -32.868053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57361549--0.57365575) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dl = 256.49646000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57361549--0.57365575) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dr = 256.49646000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98433630--0.98428836) × cos(-0.57361549) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839944442575873 × 6371000     		do = 256.540652933049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98433630--0.98428836) × cos(-0.57365575) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839922593904348 × 6371000     		du = 256.533979786381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57361549)-sin(-0.57365575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839944442575873-0.839922593904348)×R²
    abs(-0.98428836--0.98433630)×2.18486715249933e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18486715249933e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18486715249933e-05×40589641000000     		ar = 65800.9135131436m²