Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45001 / 78216
↖ ↑ ↗
← S 32.861132°
W 56.401062°		 ← 256.50 m → S 32.861132°
W 56.398316°		 →
↑
256.56 m
↓
↑
256.56 m
↓
S 32.863439°
W 56.401062°		 ← 256.49 m →
65 807 m²		 S 32.863439°
W 56.398316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343334197998047 y=0.596744537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343334197998047 × 217)
    floor (0.343334197998047 × 131072)
    floor (45001.5)     		tx = 45001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596744537353516 × 217)
    floor (0.596744537353516 × 131072)
    floor (78216.5)     		ty = 78216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45001 / 78216 ti = "17/45001/78216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45001/78216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45001 ÷ 217
    45001 ÷ 131072     		x = 0.343330383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78216 ÷ 217
    78216 ÷ 131072     		y = 0.59674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343330383300781 × 2 - 1) × π
    -0.313339233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.98438423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.607839887182312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98438423} λ = -0.98438423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607839887182312))-π/2
    2×atan(0.544525836825864)-π/2
    2×0.498630685921453-π/2
    0.997261371842907-1.57079632675     		φ = -0.57353495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98438423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.401062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57353495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.861132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45001 KachelY 78216 -0.98438423 -0.57353495 -56.401062 -32.861132
    Oben rechts KachelX + 1 45002 KachelY 78216 -0.98433630 -0.57353495 -56.398316 -32.861132
    Unten links KachelX 45001 KachelY + 1 78217 -0.98438423 -0.57357522 -56.401062 -32.863439
    Unten rechts KachelX + 1 45002 KachelY + 1 78217 -0.98433630 -0.57357522 -56.398316 -32.863439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57353495--0.57357522) × R
    4.02700000000644e-05 × 6371000     		dl = 256.56017000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57353495--0.57357522) × R
    4.02700000000644e-05 × 6371000     		dr = 256.56017000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98438423--0.98433630) × cos(-0.57353495) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.839988146686666 × 6371000     		do = 256.500485647741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98438423--0.98433630) × cos(-0.57357522) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.839966295312345 × 6371000     		du = 256.49381306772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57353495)-sin(-0.57357522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839988146686666-0.839966295312345)×R²
    abs(-0.98433630--0.98438423)×2.18513743215354e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.18513743215354e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.18513743215354e-05×40589641000000     		ar = 65806.952252769m²