Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45000 / 78088
↖ ↑ ↗
← S 32.565333°
W 56.403809°		 ← 257.41 m → S 32.565333°
W 56.401062°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
S 32.567648°
W 56.403809°		 ← 257.40 m →
66 253 m²		 S 32.567648°
W 56.401062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343326568603516 y=0.595767974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343326568603516 × 217)
    floor (0.343326568603516 × 131072)
    floor (45000.5)     		tx = 45000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595767974853516 × 217)
    floor (0.595767974853516 × 131072)
    floor (78088.5)     		ty = 78088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45000 / 78088 ti = "17/45000/78088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45000/78088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45000 ÷ 217
    45000 ÷ 131072     		x = 0.34332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78088 ÷ 217
    78088 ÷ 131072     		y = 0.59576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98443217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.601703964030945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98443217} λ = -0.98443217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601703964030945))-π/2
    2×atan(0.547877277089502)-π/2
    2×0.501212020571911-π/2
    1.00242404114382-1.57079632675     		φ = -0.56837229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98443217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56837229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.565333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45000 KachelY 78088 -0.98443217 -0.56837229 -56.403809 -32.565333
    Oben rechts KachelX + 1 45001 KachelY 78088 -0.98438423 -0.56837229 -56.401062 -32.565333
    Unten links KachelX 45000 KachelY + 1 78089 -0.98443217 -0.56841269 -56.403809 -32.567648
    Unten rechts KachelX + 1 45001 KachelY + 1 78089 -0.98438423 -0.56841269 -56.401062 -32.567648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56837229--0.56841269) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dl = 257.388400000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56837229--0.56841269) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dr = 257.388400000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98443217--0.98438423) × cos(-0.56837229) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842778223973703 × 6371000     		do = 257.406162713481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98443217--0.98438423) × cos(-0.56841269) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842756477542996 × 6371000     		du = 257.39952079379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56837229)-sin(-0.56841269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842778223973703-0.842756477542996)×R²
    abs(-0.98438423--0.98443217)×2.17464307077364e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.17464307077364e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.17464307077364e-05×40589641000000     		ar = 66252.5056036475m²