Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4500 / 3199
↖ ↑ ↗
← N 80.874570°
W130.561523°		 ← 193.75 m → N 80.874570°
W130.550537°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
N 80.872827°
W130.561523°		 ← 193.78 m →
37 541 m²		 N 80.872827°
W130.550537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137344360351562 y=0.0976409912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137344360351562 × 215)
    floor (0.137344360351562 × 32768)
    floor (4500.5)     		tx = 4500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976409912109375 × 215)
    floor (0.0976409912109375 × 32768)
    floor (3199.5)     		ty = 3199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4500 / 3199 ti = "15/4500/3199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4500/3199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4500 ÷ 215
    4500 ÷ 32768     		x = 0.1373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3199 ÷ 215
    3199 ÷ 32768     		y = 0.097625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.725341796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27872846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097625732421875 × 2 - 1) × π
    0.80474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52819208596176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27872846} λ = -2.27872846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52819208596176))-π/2
    2×atan(12.5308309802377)-π/2
    2×1.49116192521121-π/2
    2.98232385042242-1.57079632675     		φ = 1.41152752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27872846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.561523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41152752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.874570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4500 KachelY 3199 -2.27872846 1.41152752 -130.561523 80.874570
    Oben rechts KachelX + 1 4501 KachelY 3199 -2.27853671 1.41152752 -130.550537 80.874570
    Unten links KachelX 4500 KachelY + 1 3200 -2.27872846 1.41149711 -130.561523 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 4501 KachelY + 1 3200 -2.27853671 1.41149711 -130.550537 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41152752-1.41149711) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dl = 193.742109999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41152752-1.41149711) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dr = 193.742109999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27872846--2.27853671) × cos(1.41152752) × R
    0.000191749999999935 × 0.158596310207851 × 6371000     		do = 193.747477455021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27872846--2.27853671) × cos(1.41149711) × R
    0.000191749999999935 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 193.78415722586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41152752)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158596310207851-0.15862633525071)×R²
    abs(-2.27853671--2.27872846)×3.00250428582061e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00250428582061e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00250428582061e-05×40589641000000     		ar = 37540.5983004784m²