Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44999 / 78219
↖ ↑ ↗
← S 32.868053°
W 56.406555°		 ← 256.53 m → S 32.868053°
W 56.403809°		 →
↑
256.50 m
↓
↑
256.50 m
↓
S 32.870360°
W 56.406555°		 ← 256.53 m →
65 799 m²		 S 32.870360°
W 56.403809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343318939208984 y=0.596767425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343318939208984 × 217)
    floor (0.343318939208984 × 131072)
    floor (44999.5)     		tx = 44999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596767425537109 × 217)
    floor (0.596767425537109 × 131072)
    floor (78219.5)     		ty = 78219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44999 / 78219 ti = "17/44999/78219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44999/78219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44999 ÷ 217
    44999 ÷ 131072     		x = 0.343315124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78219 ÷ 217
    78219 ÷ 131072     		y = 0.596763610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343315124511719 × 2 - 1) × π
    -0.313369750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.98448011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596763610839844 × 2 - 1) × π
    -0.193527221679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.607983697881172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98448011} λ = -0.98448011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607983697881172))-π/2
    2×atan(0.544447533815263)-π/2
    2×0.498570288637091-π/2
    0.997140577274182-1.57079632675     		φ = -0.57365575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98448011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.406555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57365575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.868053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44999 KachelY 78219 -0.98448011 -0.57365575 -56.406555 -32.868053
    Oben rechts KachelX + 1 45000 KachelY 78219 -0.98443217 -0.57365575 -56.403809 -32.868053
    Unten links KachelX 44999 KachelY + 1 78220 -0.98448011 -0.57369601 -56.406555 -32.870360
    Unten rechts KachelX + 1 45000 KachelY + 1 78220 -0.98443217 -0.57369601 -56.403809 -32.870360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57365575--0.57369601) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dl = 256.49646000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57365575--0.57369601) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dr = 256.49646000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98448011--0.98443217) × cos(-0.57365575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839922593904348 × 6371000     		do = 256.533979785787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98448011--0.98443217) × cos(-0.57369601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839900743871419 × 6371000     		du = 256.527306223311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57365575)-sin(-0.57369601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839922593904348-0.839900743871419)×R²
    abs(-0.98443217--0.98448011)×2.18500329283167e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18500329283167e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18500329283167e-05×40589641000000     		ar = 65799.2018211985m²