Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44998 / 78011
↖ ↑ ↗
← S 32.386920°
W 56.409302°		 ← 257.86 m → S 32.386920°
W 56.406555°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
S 32.389239°
W 56.409302°		 ← 257.86 m →
66 502 m²		 S 32.389239°
W 56.406555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343311309814453 y=0.595180511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343311309814453 × 217)
    floor (0.343311309814453 × 131072)
    floor (44998.5)     		tx = 44998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595180511474609 × 217)
    floor (0.595180511474609 × 131072)
    floor (78011.5)     		ty = 78011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44998 / 78011 ti = "17/44998/78011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44998/78011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44998 ÷ 217
    44998 ÷ 131072     		x = 0.343307495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78011 ÷ 217
    78011 ÷ 131072     		y = 0.595176696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343307495117188 × 2 - 1) × π
    -0.313385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98452804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595176696777344 × 2 - 1) × π
    -0.190353393554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.598012822760201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98452804} λ = -0.98452804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598012822760201))-π/2
    2×atan(0.549903306398162)-π/2
    2×0.502768970966362-π/2
    1.00553794193272-1.57079632675     		φ = -0.56525838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98452804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.409302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56525838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.386920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44998 KachelY 78011 -0.98452804 -0.56525838 -56.409302 -32.386920
    Oben rechts KachelX + 1 44999 KachelY 78011 -0.98448011 -0.56525838 -56.406555 -32.386920
    Unten links KachelX 44998 KachelY + 1 78012 -0.98452804 -0.56529886 -56.409302 -32.389239
    Unten rechts KachelX + 1 44999 KachelY + 1 78012 -0.98448011 -0.56529886 -56.406555 -32.389239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56525838--0.56529886) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dl = 257.89808000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56525838--0.56529886) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dr = 257.89808000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98452804--0.98448011) × cos(-0.56525838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.84445023149389 × 6371000     		do = 257.863036923102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98452804--0.98448011) × cos(-0.56529886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844428548336776 × 6371000     		du = 257.856415710229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56525838)-sin(-0.56529886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84445023149389-0.844428548336776)×R²
    abs(-0.98448011--0.98452804)×2.16831571135945e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16831571135945e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16831571135945e-05×40589641000000     		ar = 66501.528335538m²