Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44995 / 78239
↖ ↑ ↗
← S 32.914180°
W 56.417542°		 ← 256.40 m → S 32.914180°
W 56.414795°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 32.916485°
W 56.417542°		 ← 256.39 m →
65 732 m²		 S 32.916485°
W 56.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343288421630859 y=0.596920013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343288421630859 × 217)
    floor (0.343288421630859 × 131072)
    floor (44995.5)     		tx = 44995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596920013427734 × 217)
    floor (0.596920013427734 × 131072)
    floor (78239.5)     		ty = 78239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44995 / 78239 ti = "17/44995/78239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44995/78239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44995 ÷ 217
    44995 ÷ 131072     		x = 0.343284606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78239 ÷ 217
    78239 ÷ 131072     		y = 0.596916198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343284606933594 × 2 - 1) × π
    -0.313430786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.98467186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596916198730469 × 2 - 1) × π
    -0.193832397460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.608942435873573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98467186} λ = -0.98467186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608942435873573))-π/2
    2×atan(0.543925801422023)-π/2
    2×0.498167760559129-π/2
    0.996335521118257-1.57079632675     		φ = -0.57446081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98467186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.417542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57446081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.914180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44995 KachelY 78239 -0.98467186 -0.57446081 -56.417542 -32.914180
    Oben rechts KachelX + 1 44996 KachelY 78239 -0.98462392 -0.57446081 -56.414795 -32.914180
    Unten links KachelX 44995 KachelY + 1 78240 -0.98467186 -0.57450105 -56.417542 -32.916485
    Unten rechts KachelX + 1 44996 KachelY + 1 78240 -0.98462392 -0.57450105 -56.414795 -32.916485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57446081--0.57450105) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dl = 256.36903999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57446081--0.57450105) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dr = 256.36903999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98467186--0.98462392) × cos(-0.57446081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839485410699787 × 6371000     		do = 256.400452782018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98467186--0.98462392) × cos(-0.57450105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839463544319285 × 6371000     		du = 256.393774226572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57446081)-sin(-0.57450105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839485410699787-0.839463544319285)×R²
    abs(-0.98462392--0.98467186)×2.18663805023889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18663805023889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18663805023889e-05×40589641000000     		ar = 65732.2818564899m²