Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44995 / 78010
↖ ↑ ↗
← S 32.384600°
W 56.417542°		 ← 257.92 m → S 32.384600°
W 56.414795°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
S 32.386920°
W 56.417542°		 ← 257.92 m →
66 517 m²		 S 32.386920°
W 56.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343288421630859 y=0.595172882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343288421630859 × 217)
    floor (0.343288421630859 × 131072)
    floor (44995.5)     		tx = 44995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595172882080078 × 217)
    floor (0.595172882080078 × 131072)
    floor (78010.5)     		ty = 78010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44995 / 78010 ti = "17/44995/78010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44995/78010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44995 ÷ 217
    44995 ÷ 131072     		x = 0.343284606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78010 ÷ 217
    78010 ÷ 131072     		y = 0.595169067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343284606933594 × 2 - 1) × π
    -0.313430786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.98467186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595169067382812 × 2 - 1) × π
    -0.190338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.59796488586058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98467186} λ = -0.98467186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.59796488586058))-π/2
    2×atan(0.549929667689595)-π/2
    2×0.502789211389137-π/2
    1.00557842277827-1.57079632675     		φ = -0.56521790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98467186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.417542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56521790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.384600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44995 KachelY 78010 -0.98467186 -0.56521790 -56.417542 -32.384600
    Oben rechts KachelX + 1 44996 KachelY 78010 -0.98462392 -0.56521790 -56.414795 -32.384600
    Unten links KachelX 44995 KachelY + 1 78011 -0.98467186 -0.56525838 -56.417542 -32.386920
    Unten rechts KachelX + 1 44996 KachelY + 1 78011 -0.98462392 -0.56525838 -56.414795 -32.386920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56521790--0.56525838) × R
    4.04799999998984e-05 × 6371000     		dl = 257.898079999353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56521790--0.56525838) × R
    4.04799999998984e-05 × 6371000     		dr = 257.898079999353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98467186--0.98462392) × cos(-0.56521790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.844471913267261 × 6371000     		do = 257.9234590187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98467186--0.98462392) × cos(-0.56525838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84445023149389 × 6371000     		du = 257.916836847023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56521790)-sin(-0.56525838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844471913267261-0.84445023149389)×R²
    abs(-0.98462392--0.98467186)×2.16817733716956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16817733716956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16817733716956e-05×40589641000000     		ar = 66517.1109542248m²