Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44993 / 78240
↖ ↑ ↗
← S 32.916485°
W 56.423035°		 ← 256.39 m → S 32.916485°
W 56.420288°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 32.918791°
W 56.423035°		 ← 256.39 m →
65 731 m²		 S 32.918791°
W 56.420288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343273162841797 y=0.596927642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343273162841797 × 217)
    floor (0.343273162841797 × 131072)
    floor (44993.5)     		tx = 44993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596927642822266 × 217)
    floor (0.596927642822266 × 131072)
    floor (78240.5)     		ty = 78240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44993 / 78240 ti = "17/44993/78240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44993/78240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44993 ÷ 217
    44993 ÷ 131072     		x = 0.343269348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78240 ÷ 217
    78240 ÷ 131072     		y = 0.596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343269348144531 × 2 - 1) × π
    -0.313461303710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98476773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.19384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.608990372773193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98476773} λ = -0.98476773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608990372773193))-π/2
    2×atan(0.543899727930426)-π/2
    2×0.498147639657202-π/2
    0.996295279314403-1.57079632675     		φ = -0.57450105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98476773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.423035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57450105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.916485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44993 KachelY 78240 -0.98476773 -0.57450105 -56.423035 -32.916485
    Oben rechts KachelX + 1 44994 KachelY 78240 -0.98471979 -0.57450105 -56.420288 -32.916485
    Unten links KachelX 44993 KachelY + 1 78241 -0.98476773 -0.57454129 -56.423035 -32.918791
    Unten rechts KachelX + 1 44994 KachelY + 1 78241 -0.98471979 -0.57454129 -56.420288 -32.918791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57450105--0.57454129) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dl = 256.369040000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57450105--0.57454129) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dr = 256.369040000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98476773--0.98471979) × cos(-0.57450105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839463544319285 × 6371000     		do = 256.393774226572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98476773--0.98471979) × cos(-0.57454129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839441676579475 × 6371000     		du = 256.387095255959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57450105)-sin(-0.57454129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839463544319285-0.839441676579475)×R²
    abs(-0.98471979--0.98476773)×2.18677398101663e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18677398101663e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18677398101663e-05×40589641000000     		ar = 65730.5696287152m²