Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44992 / 78238
↖ ↑ ↗
← S 32.911874°
W 56.425781°		 ← 256.41 m → S 32.911874°
W 56.423035°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
S 32.914180°
W 56.425781°		 ← 256.40 m →
65 750 m²		 S 32.914180°
W 56.423035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343265533447266 y=0.596912384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343265533447266 × 217)
    floor (0.343265533447266 × 131072)
    floor (44992.5)     		tx = 44992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596912384033203 × 217)
    floor (0.596912384033203 × 131072)
    floor (78238.5)     		ty = 78238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44992 / 78238 ti = "17/44992/78238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44992/78238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44992 ÷ 217
    44992 ÷ 131072     		x = 0.34326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78238 ÷ 217
    78238 ÷ 131072     		y = 0.596908569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596908569335938 × 2 - 1) × π
    -0.193817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.608894498973953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98481567} λ = -0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608894498973953))-π/2
    2×atan(0.543951876163533)-π/2
    2×0.498187881985173-π/2
    0.996375763970346-1.57079632675     		φ = -0.57442056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57442056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.911874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44992 KachelY 78238 -0.98481567 -0.57442056 -56.425781 -32.911874
    Oben rechts KachelX + 1 44993 KachelY 78238 -0.98476773 -0.57442056 -56.423035 -32.911874
    Unten links KachelX 44992 KachelY + 1 78239 -0.98481567 -0.57446081 -56.425781 -32.914180
    Unten rechts KachelX + 1 44993 KachelY + 1 78239 -0.98476773 -0.57446081 -56.423035 -32.914180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57442056--0.57446081) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dl = 256.432750000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57442056--0.57446081) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dr = 256.432750000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98481567--0.98476773) × cos(-0.57442056) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839507281154431 × 6371000     		do = 256.407132582406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98481567--0.98476773) × cos(-0.57446081) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.839485410699787 × 6371000     		du = 256.400452782612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57442056)-sin(-0.57446081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839507281154431-0.839485410699787)×R²
    abs(-0.98476773--0.98481567)×2.18704546438575e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18704546438575e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18704546438575e-05×40589641000000     		ar = 65750.3296770692m²