Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44992 / 20928
↖ ↑ ↗
← N 54.367758°
E 67.148437°		 ← 355.87 m → N 54.367758°
E 67.153931°		 →
↑
355.82 m
↓
↑
355.82 m
↓
N 54.364558°
E 67.148437°		 ← 355.90 m →
126 631 m²		 N 54.364558°
E 67.153931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686531066894531 y=0.319343566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686531066894531 × 216)
    floor (0.686531066894531 × 65536)
    floor (44992.5)     		tx = 44992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319343566894531 × 216)
    floor (0.319343566894531 × 65536)
    floor (20928.5)     		ty = 20928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44992 / 20928 ti = "16/44992/20928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44992/20928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44992 ÷ 216
    44992 ÷ 65536     		x = 0.6865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20928 ÷ 216
    20928 ÷ 65536     		y = 0.3193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17196132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3193359375 × 2 - 1) × π
    0.361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17196132} λ = 1.17196132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13514578300293))-π/2
    2×atan(3.11162713218885)-π/2
    2×1.2598463599751-π/2
    2.5196927199502-1.57079632675     		φ = 0.94889639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17196132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.148437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94889639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.367758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44992 KachelY 20928 1.17196132 0.94889639 67.148437 54.367758
    Oben rechts KachelX + 1 44993 KachelY 20928 1.17205720 0.94889639 67.153931 54.367758
    Unten links KachelX 44992 KachelY + 1 20929 1.17196132 0.94884054 67.148437 54.364558
    Unten rechts KachelX + 1 44993 KachelY + 1 20929 1.17205720 0.94884054 67.153931 54.364558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94889639-0.94884054) × R
    5.58500000000794e-05 × 6371000     		dl = 355.820350000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94889639-0.94884054) × R
    5.58500000000794e-05 × 6371000     		dr = 355.820350000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17196132-1.17205720) × cos(0.94889639) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.582580428535012 × 6371000     		do = 355.870116989413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17196132-1.17205720) × cos(0.94884054) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.582625821001695 × 6371000     		du = 355.897845044867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94889639)-sin(0.94884054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582580428535012-0.582625821001695)×R²
    abs(1.17205720-1.17196132)×4.53924666832251e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53924666832251e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53924666832251e-05×40589641000000     		ar = 126630.762717827m²