Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4499 / 2478
↖ ↑ ↗
← N 82.048780°
W130.572510°		 ← 168.99 m → N 82.048780°
W130.561523°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 82.047260°
W130.572510°		 ← 169.02 m →
28 566 m²		 N 82.047260°
W130.561523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137313842773438 y=0.0756378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137313842773438 × 215)
    floor (0.137313842773438 × 32768)
    floor (4499.5)     		tx = 4499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756378173828125 × 215)
    floor (0.0756378173828125 × 32768)
    floor (2478.5)     		ty = 2478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4499 / 2478 ti = "15/4499/2478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4499/2478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4499 ÷ 215
    4499 ÷ 32768     		x = 0.137298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2478 ÷ 215
    2478 ÷ 32768     		y = 0.07562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.72540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27892021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07562255859375 × 2 - 1) × π
    0.8487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.666442104466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27892021} λ = -2.27892021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.666442104466))-π/2
    2×atan(14.3886845776517)-π/2
    2×1.50140884352822-π/2
    3.00281768705643-1.57079632675     		φ = 1.43202136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27892021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.572510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43202136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.048780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4499 KachelY 2478 -2.27892021 1.43202136 -130.572510 82.048780
    Oben rechts KachelX + 1 4500 KachelY 2478 -2.27872846 1.43202136 -130.561523 82.048780
    Unten links KachelX 4499 KachelY + 1 2479 -2.27892021 1.43199483 -130.572510 82.047260
    Unten rechts KachelX + 1 4500 KachelY + 1 2479 -2.27872846 1.43199483 -130.561523 82.047260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43202136-1.43199483) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43202136-1.43199483) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27892021--2.27872846) × cos(1.43202136) × R
    0.000191749999999935 × 0.13832996276545 × 6371000     		do = 168.989311965255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27892021--2.27872846) × cos(1.43199483) × R
    0.000191749999999935 × 0.138356237662601 × 6371000     		du = 169.021410410905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43202136)-sin(1.43199483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13832996276545-0.138356237662601)×R²
    abs(-2.27872846--2.27892021)×2.62748971515125e-05×R²
    0.000191749999999935×2.62748971515125e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.62748971515125e-05×40589641000000     		ar = 28565.7306343108m²