Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44989 / 12302
↖ ↑ ↗
← N 73.998357°
E 67.131958°		 ← 168.37 m → N 73.998357°
E 67.137451°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
N 73.996843°
E 67.131958°		 ← 168.39 m →
28 353 m²		 N 73.996843°
E 67.137451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686485290527344 y=0.187721252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686485290527344 × 216)
    floor (0.686485290527344 × 65536)
    floor (44989.5)     		tx = 44989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187721252441406 × 216)
    floor (0.187721252441406 × 65536)
    floor (12302.5)     		ty = 12302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44989 / 12302 ti = "16/44989/12302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44989/12302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44989 ÷ 216
    44989 ÷ 65536     		x = 0.686477661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12302 ÷ 216
    12302 ÷ 65536     		y = 0.187713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686477661132812 × 2 - 1) × π
    0.372955322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17167370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187713623046875 × 2 - 1) × π
    0.62457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96215317524814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17167370} λ = 1.17167370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96215317524814))-π/2
    2×atan(7.11462962911064)-π/2
    2×1.43115565019392-π/2
    2.86231130038784-1.57079632675     		φ = 1.29151497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17167370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.131958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29151497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.998357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44989 KachelY 12302 1.17167370 1.29151497 67.131958 73.998357
    Oben rechts KachelX + 1 44990 KachelY 12302 1.17176957 1.29151497 67.137451 73.998357
    Unten links KachelX 44989 KachelY + 1 12303 1.17167370 1.29148854 67.131958 73.996843
    Unten rechts KachelX + 1 44990 KachelY + 1 12303 1.17176957 1.29148854 67.137451 73.996843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29151497-1.29148854) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dl = 168.385529999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29151497-1.29148854) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dr = 168.385529999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17167370-1.17176957) × cos(1.29151497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275664921301426 × 6371000     		do = 168.37276254892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17167370-1.17176957) × cos(1.29148854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275690327142844 × 6371000     		du = 168.388280126144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29151497)-sin(1.29148854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275664921301426-0.275690327142844)×R²
    abs(1.17176957-1.17167370)×2.54058414171365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54058414171365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54058414171365e-05×40589641000000     		ar = 28352.8433289016m²