Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44987 / 12301
↖ ↑ ↗
← N 73.999871°
E 67.120972°		 ← 168.37 m → N 73.999871°
E 67.126465°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
N 73.998357°
E 67.120972°		 ← 168.39 m →
28 353 m²		 N 73.998357°
E 67.126465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686454772949219 y=0.187705993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686454772949219 × 216)
    floor (0.686454772949219 × 65536)
    floor (44987.5)     		tx = 44987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187705993652344 × 216)
    floor (0.187705993652344 × 65536)
    floor (12301.5)     		ty = 12301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44987 / 12301 ti = "16/44987/12301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44987/12301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44987 ÷ 216
    44987 ÷ 65536     		x = 0.686447143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12301 ÷ 216
    12301 ÷ 65536     		y = 0.187698364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686447143554688 × 2 - 1) × π
    0.372894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17148195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187698364257812 × 2 - 1) × π
    0.624603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96224904904738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17148195} λ = 1.17148195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96224904904738))-π/2
    2×atan(7.11531176838249)-π/2
    2×1.43116886410651-π/2
    2.86233772821303-1.57079632675     		φ = 1.29154140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17148195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.120972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29154140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.999871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44987 KachelY 12301 1.17148195 1.29154140 67.120972 73.999871
    Oben rechts KachelX + 1 44988 KachelY 12301 1.17157783 1.29154140 67.126465 73.999871
    Unten links KachelX 44987 KachelY + 1 12302 1.17148195 1.29151497 67.120972 73.998357
    Unten rechts KachelX + 1 44988 KachelY + 1 12302 1.17157783 1.29151497 67.126465 73.998357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29154140-1.29151497) × R
    2.64300000001327e-05 × 6371000     		dl = 168.385530000846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29154140-1.29151497) × R
    2.64300000001327e-05 × 6371000     		dr = 168.385530000846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17148195-1.17157783) × cos(1.29154140) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275639515267445 × 6371000     		do = 168.374805847491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17148195-1.17157783) × cos(1.29151497) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275664921301426 × 6371000     		du = 168.390325160949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29154140)-sin(1.29151497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275639515267445-0.275664921301426)×R²
    abs(1.17157783-1.17148195)×2.54060339816564e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.54060339816564e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.54060339816564e-05×40589641000000     		ar = 28353.1875367978m²